時(shí)間：2022-04-24 02:46:20
序論：在您撰寫數(shù)學(xué)分析論文時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的1篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
摘要：企業(yè)的規(guī)?；l(fā)展是企業(yè)的經(jīng)營(yíng)格局達(dá)到了一定的水平和標(biāo)準(zhǔn)，要想實(shí)現(xiàn)企業(yè)規(guī)模化發(fā)展的不斷優(yōu)化，理論指導(dǎo)必不可少，其中數(shù)學(xué)分析又是理論指導(dǎo)的重要組成部分，為此，將以邊際成本和機(jī)會(huì)成本為例淺析數(shù)學(xué)分析對(duì)于企業(yè)規(guī)?；l(fā)展的優(yōu)化作用。
關(guān)鍵詞：邊際成本；機(jī)會(huì)成本；數(shù)學(xué)分析；企業(yè)規(guī)?；l(fā)展；優(yōu)化發(fā)展
0引言
隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，各個(gè)行業(yè)的迅速崛起，企業(yè)面臨的競(jìng)爭(zhēng)和壓力越來(lái)越大，想要在眾多的企業(yè)當(dāng)中脫穎而出力爭(zhēng)上游，必須實(shí)現(xiàn)企業(yè)的規(guī)?；l(fā)展，并在發(fā)展中不斷優(yōu)化自己的經(jīng)營(yíng)模式和格局。而企業(yè)的規(guī)?；l(fā)展和優(yōu)化離不開正確的理論指導(dǎo)，這時(shí)通過(guò)正確的數(shù)學(xué)分析來(lái)降低成本和增加收益是一條很重要的途徑，下面本文將以邊際成本和機(jī)會(huì)成本為例簡(jiǎn)單介紹數(shù)學(xué)分析在實(shí)現(xiàn)企業(yè)的規(guī)模化發(fā)展中的優(yōu)化作用。
1邊際成本和機(jī)會(huì)成本概述
1.1邊際成本概述
所謂邊際成本，是指在經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)范圍內(nèi)，每個(gè)企業(yè)或者單位生產(chǎn)新產(chǎn)品或者購(gòu)買新產(chǎn)品所造成的總體成本的增加量。這樣的概述表明每個(gè)企業(yè)或者單位生產(chǎn)或者購(gòu)買的新產(chǎn)品的成本和總產(chǎn)品量是直接相關(guān)的。比如，某個(gè)電子產(chǎn)品公司僅僅設(shè)計(jì)和生產(chǎn)一部手機(jī)的成本是極其巨大的，而如果設(shè)計(jì)和生產(chǎn)一萬(wàn)部手機(jī)的話，成本就會(huì)大大降低，收益卻比設(shè)計(jì)和生產(chǎn)一部手機(jī)增加了很多，這就是規(guī)模化生產(chǎn)所帶來(lái)的效益。
1.2機(jī)會(huì)成本概述
在經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)中，所謂機(jī)會(huì)成本，就是指想要得到某種東西而所要放棄的另一種或者另外幾種東西中的最大價(jià)值，或者說(shuō)在對(duì)多種方案進(jìn)行決策時(shí)，所舍棄的方案中的最高價(jià)值就是這次決策的機(jī)會(huì)成本；還指廠商把相同的生產(chǎn)投入到其他的行業(yè)當(dāng)中時(shí)可以獲得的最高收益。比如，一袋面粉如果用來(lái)做饅頭就不能做面包，做饅頭的成本就是放棄做面包的收益。在企業(yè)的發(fā)展過(guò)程中，當(dāng)利用一定的資源或時(shí)間來(lái)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，就失去了一定的機(jī)會(huì)，利用這些時(shí)間和資源來(lái)生產(chǎn)其他的能產(chǎn)生收益的另外的產(chǎn)品的機(jī)會(huì)，這就是機(jī)會(huì)成本。
1.3邊際成本和機(jī)會(huì)成本的關(guān)系
企業(yè)想要高收益，于是想增加產(chǎn)量來(lái)降低邊際成本，但是在降低邊際成本的同時(shí)，機(jī)會(huì)成本卻有可能增加。比如，生產(chǎn)一部新的手機(jī)時(shí)，所使用的材料可能有更好的用處，這時(shí)機(jī)會(huì)成本就會(huì)增加，所以要盡量用最少的材料生產(chǎn)出最多的手機(jī)，這樣才能在降低邊際成本的同時(shí)也減少了降低機(jī)會(huì)成本。
2數(shù)學(xué)分析在企業(yè)規(guī)?；l(fā)展中的優(yōu)化作用
每個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者都希望自己的企業(yè)能越做越大，效益越來(lái)越好，因此在企業(yè)發(fā)展到一定水平時(shí)就要考慮企業(yè)的規(guī)?；l(fā)展及其優(yōu)化了，這時(shí)就應(yīng)該對(duì)企業(yè)的發(fā)展進(jìn)行規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)邊際成本和機(jī)會(huì)成本的最小化和收益的最大化，即經(jīng)濟(jì)學(xué)中常說(shuō)的規(guī)模經(jīng)濟(jì)，通過(guò)擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模而引起經(jīng)濟(jì)效益增加的現(xiàn)象。
2.1邊際成本法中的數(shù)學(xué)分析在企業(yè)規(guī)?；l(fā)展中的優(yōu)化作用
利用邊際成本法對(duì)企業(yè)的生產(chǎn)和銷售進(jìn)行規(guī)劃時(shí)，更有利于企業(yè)的管理者對(duì)企業(yè)的短期產(chǎn)量進(jìn)行決策，避免操縱短期利潤(rùn)，克服了完全成本法的缺點(diǎn)。下面用一個(gè)實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明：
在某企業(yè)的生產(chǎn)過(guò)程中要制造一種零部件產(chǎn)品，其中生產(chǎn)用費(fèi)用包括：每件12元的材料使用費(fèi)，每件7元的人工加工費(fèi)，每件8元的變動(dòng)制造費(fèi)用（水電等能源），固定制造費(fèi)（機(jī)器的折舊與損耗）6000元，額外的非生產(chǎn)性附加費(fèi)用包括：管理費(fèi)用（保險(xiǎn)公積金等）800元，該零件的銷售費(fèi)用包括：每件6元的變動(dòng)費(fèi)（促銷），以及1000元的廣告固定費(fèi)用。期初庫(kù)存0件，本月生產(chǎn)3000件，銷售2800件，售價(jià)為每件50元。
2.1.1用完全成本法計(jì)算該件商品的利潤(rùn)
單位生產(chǎn)成本：12+7+8+6000/3000=29元
銷售收入：2800件×50=140000元
減去銷售成本：2800×29=81200元
毛利：58800元
減去期間成本：2800×6+800+1000=18600元
凈利：40200元
在該算法下，虛增了資產(chǎn)和當(dāng)期的利潤(rùn)。而且不難看出在該算法下，該零件生產(chǎn)廠商無(wú)法判斷出是否應(yīng)該增產(chǎn)或者應(yīng)該減產(chǎn)，因?yàn)樵摿慵奈粘杀局杏兄潭ǖ某杀疽?，而且固定成本的多少與企業(yè)的產(chǎn)量并無(wú)關(guān)聯(lián)。
2.1.2用邊際成本法計(jì)算該件商品的利潤(rùn)
12+7+8=27元
銷售2800×50=140000元
減：2800×（22+6）=78400元
貢獻(xiàn)毛益：61600元
全部固定6000+800+1000=7800元
凈利潤(rùn)53800元
由此可見，利用邊際成本法計(jì)算某件產(chǎn)品的利潤(rùn)時(shí)，利潤(rùn)與該產(chǎn)品的產(chǎn)量沒有直接關(guān)系，而與該件產(chǎn)品的銷售量直接相關(guān)。利用這兩種方法對(duì)產(chǎn)品的利潤(rùn)進(jìn)行計(jì)算所得的差額剛好是完全成本下庫(kù)存產(chǎn)品中所含的固定費(fèi)用數(shù)。由這兩種計(jì)算的比較可以知道，因?yàn)楣潭ǔ杀竞彤a(chǎn)量的增減沒有直接的關(guān)系，在短期內(nèi)要進(jìn)行增減產(chǎn)量的決策時(shí)，不需要考慮固定成本這個(gè)因素。由此可見邊際成本法能更準(zhǔn)確地反映出短期內(nèi)企業(yè)的實(shí)際利潤(rùn)，邊際成本法中的數(shù)學(xué)分析對(duì)于企業(yè)的短期規(guī)?；a(chǎn)有著至關(guān)重要的優(yōu)化作用。
2.2機(jī)會(huì)成本遞增法則中的數(shù)學(xué)分析在企業(yè)規(guī)?；l(fā)展中的優(yōu)化作用
在經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)中，所謂機(jī)會(huì)成本的遞增法則，
指的是在某企業(yè)的生產(chǎn)資源和生產(chǎn)技術(shù)條件一定的情況下，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品就意味著要放棄生產(chǎn)另一種產(chǎn)品，那么每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品所產(chǎn)生的機(jī)會(huì)成本就會(huì)增加。從機(jī)會(huì)成本角度來(lái)看企業(yè)的生產(chǎn)和發(fā)展能更準(zhǔn)確地從社會(huì)觀點(diǎn)出發(fā)看到把有限的Y源用于某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的代價(jià)，促使企業(yè)的決策者把有限的資源合理地分配和應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)效益最大化。下面用一個(gè)實(shí)例說(shuō)明機(jī)會(huì)成本的遞增法則：
某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)A產(chǎn)品每件總成本為5元，銷售價(jià)格為9元，凈利潤(rùn)4元；生產(chǎn)B產(chǎn)品每件總成本為3元，銷售價(jià)格8元，凈利潤(rùn)5元。該企業(yè)每月可生產(chǎn)A、B兩種商品共10000件，原每月生產(chǎn)A產(chǎn)品4000件，B產(chǎn)品6000件。A產(chǎn)品的機(jī)會(huì)成本為30000元，B產(chǎn)品的機(jī)會(huì)成本為16000元。每月可盈利46000元；現(xiàn)每月增加B產(chǎn)品產(chǎn)量2000件，A產(chǎn)品的機(jī)會(huì)成本增加為40000元，B產(chǎn)品的機(jī)會(huì)成本減少為8000元，每月可盈利48000元。
由上述例子可見，當(dāng)該企業(yè)產(chǎn)能優(yōu)化改革后，總盈利額上升2000元，所以合理利用機(jī)會(huì)成本的遞增法則，可以使企業(yè)將資源分配應(yīng)用的更加合理，獲取最大的經(jīng)濟(jì)效益。
2.3利用數(shù)學(xué)分析降低邊際成本和機(jī)會(huì)成本實(shí)現(xiàn)企業(yè)的規(guī)模經(jīng)濟(jì)
實(shí)現(xiàn)企業(yè)的規(guī)模經(jīng)濟(jì)是每個(gè)企業(yè)發(fā)展的目標(biāo)，要想實(shí)現(xiàn)規(guī)模經(jīng)濟(jì)必須把握好生產(chǎn)要素的集中程度和企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益之間的關(guān)系。隨著產(chǎn)量的增加，產(chǎn)品的生產(chǎn)邊際成本就會(huì)越來(lái)越低，但是這并不意味著產(chǎn)量越大生產(chǎn)規(guī)模越大越好，企業(yè)追求的經(jīng)濟(jì)效益的最大化，在產(chǎn)量增加的同時(shí)產(chǎn)品的機(jī)會(huì)成本也會(huì)越來(lái)越大。當(dāng)產(chǎn)量增加到一定的程度，企業(yè)的邊際效益就會(huì)開始下降，甚至趨向于零，乃至變?yōu)樨?fù)值，導(dǎo)致規(guī)模不經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，如圖1所示。圖1凈利潤(rùn)增長(zhǎng)率由此可見，要想實(shí)現(xiàn)企業(yè)經(jīng)濟(jì)的規(guī)模化發(fā)展并不斷優(yōu)化，必須要有正確的數(shù)學(xué)分析做理論指導(dǎo)，降低邊際成本和機(jī)會(huì)成本。根據(jù)上文的分析，擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模的同時(shí)會(huì)降低邊際成本，但是也會(huì)增加機(jī)會(huì)成本，所以不能一味地增大企業(yè)的生產(chǎn)量，應(yīng)根據(jù)企業(yè)的實(shí)際狀況，對(duì)企業(yè)的規(guī)模進(jìn)行如上文提到的數(shù)學(xué)分析，確定它的最佳濟(jì)規(guī)模，降低企業(yè)的邊際成本，但是也使生產(chǎn)資源得到合理地配置和使用，同時(shí)降低了機(jī)會(huì)成本，按照這樣的經(jīng)濟(jì)規(guī)模進(jìn)行企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益最大化。
3結(jié)束語(yǔ)
降低生產(chǎn)的邊際成本和機(jī)會(huì)成本，增高企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，在規(guī)?；l(fā)展過(guò)程中越做越強(qiáng)，并不斷優(yōu)化，增強(qiáng)企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)力，是每個(gè)企業(yè)的目標(biāo)。綜合上文的闡述，這時(shí)企業(yè)應(yīng)從邊際成本和機(jī)會(huì)成本的角度出發(fā)，通過(guò)正確的數(shù)學(xué)理論分析，降低企業(yè)生產(chǎn)的邊際成本和機(jī)會(huì)成本，找到企業(yè)的最佳經(jīng)濟(jì)規(guī)模，使企業(yè)獲得最高經(jīng)濟(jì)效益，實(shí)現(xiàn)企業(yè)的規(guī)模經(jīng)濟(jì)。
摘要：在高校數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生可以更好地掌握數(shù)學(xué)分析的知識(shí)體系和思維方法。文章首先敘述了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，之后論述在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的意義，最后以教學(xué)案例的方式，從四個(gè)不同的角度闡述在數(shù)學(xué)分析課程中融入數(shù)學(xué)文化的方法。
關(guān)鍵詞：教學(xué)改革；數(shù)學(xué)分析；數(shù)學(xué)文化；教學(xué)案例
高校數(shù)學(xué)分析課程，作為數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融學(xué)、保險(xiǎn)精算學(xué)等專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是學(xué)生后續(xù)課程的基礎(chǔ)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的專業(yè)素養(yǎng)非常重要。進(jìn)行高校數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化，既可使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的獨(dú)特文化內(nèi)涵，又可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更好地掌握數(shù)學(xué)分析的知識(shí)體系和思維方法，更為高效地完成學(xué)習(xí)。
一、數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵
所謂數(shù)學(xué)文化，狹義的是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言以及它們的形成和發(fā)展。廣義指除這些之外，還包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系[1]。
數(shù)學(xué)文化是一個(gè)開放、多元、動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)。研究學(xué)者視角的多元化，導(dǎo)致數(shù)學(xué)文化的界定并不一致。Wilder R.L.[2]指出數(shù)學(xué)家擁有的文化內(nèi)含一個(gè)共享的帶有數(shù)學(xué)特征的部分；Bishop A.J.[3]認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是文化視角下的數(shù)學(xué)，既包含Wilder精英主義的數(shù)學(xué)亞文化，即數(shù)學(xué)知識(shí)背后的隱性成分或觀念性成分，也包含人類文化中的數(shù)學(xué)成分。張奠宙[4]認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)不是數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，背后隱性存在的觀念才是；王憲昌[5]認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后的文化傳統(tǒng)流變的文化分析；孫宏安[6]認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是人類適應(yīng)數(shù)學(xué)活動(dòng)的環(huán)境與創(chuàng)造數(shù)學(xué)活動(dòng)自身及其成果的綜合。
二、在數(shù)學(xué)分析課程中，融入數(shù)學(xué)文化的意義
1.數(shù)學(xué)分析理論體系完整，邏輯思維嚴(yán)密，課程具有無(wú)窮魅力。在這些有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)現(xiàn)象之外，數(shù)學(xué)分析還蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思維，蘊(yùn)含著“有限與無(wú)限”“變中有不變”等數(shù)學(xué)哲學(xué)，有著微積分發(fā)展中豐富的歷史故事，有著數(shù)學(xué)先驅(qū)勇攀科學(xué)高峰的精神。數(shù)學(xué)分析課程實(shí)質(zhì)上也是在傳播一種文化，一種有趣的數(shù)學(xué)文化。在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)有效地體現(xiàn)其文化價(jià)值。
2.著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生在《數(shù)學(xué)文化的一些新視角》[7]中指出：“數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)課堂，在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化品位和世俗的人情味?！痹趥鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，只是局限于其知識(shí)成分，抽取了理性的定理、公式、結(jié)構(gòu)等骨架，而舍去了其中數(shù)學(xué)文化、實(shí)踐創(chuàng)新等豐富血肉。這種“繭氏”的課程文化丟失了數(shù)學(xué)的思想、精神，也丟失了課程的許多精華和其中的樂趣。數(shù)學(xué)分析課程不但具有科學(xué)的價(jià)值，而且還具有文化的價(jià)值。數(shù)學(xué)文化有其獨(dú)立思考、勇于批判的理性精神；有其濃厚的文化積淀，以及踏實(shí)細(xì)微的人文精神；有其在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用性；有其相對(duì)穩(wěn)定性和延續(xù)性，有其世界性等[8]。在教學(xué)過(guò)程中，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式、評(píng)價(jià)方式等諸方面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，將數(shù)學(xué)文化滲透到數(shù)學(xué)分析教學(xué)的全過(guò)程之中。
3.數(shù)學(xué)分析課程理論性強(qiáng)，其邏輯推理的嚴(yán)密嚴(yán)謹(jǐn)性，需要教師和學(xué)生投入很多的精力。而且，作為大學(xué)入學(xué)的第一門數(shù)學(xué)專業(yè)課，學(xué)生需從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變，學(xué)習(xí)和適應(yīng)不同的思考和解決問題的角度與方法，這也進(jìn)一步增加了教學(xué)和學(xué)習(xí)的難度。教學(xué)中在嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)的同時(shí)，融入數(shù)學(xué)文化，一方面讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化，另一方面，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生可以更好地汲取知識(shí)。
三、在數(shù)學(xué)分析課程中融入數(shù)學(xué)文化的方法
數(shù)學(xué)文化的滲透。學(xué)生理解與感悟數(shù)學(xué)是一種自然滲透、逐步深化的過(guò)程。不可將知識(shí)孤立、零散地分割開，最終只讓學(xué)生學(xué)到了一個(gè)個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)，卻無(wú)法學(xué)到縱橫聯(lián)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)，這也無(wú)法使學(xué)生最終獲得數(shù)學(xué)理性觀的升華直至感悟。
在將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)的過(guò)程中，需要教師與學(xué)生一起感受數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)文化的真諦。更需要教師在深刻而豐富的數(shù)學(xué)文化觀的引導(dǎo)下，引發(fā)課堂教學(xué)行為的改變，從而提高教師的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)水平。
1.以數(shù)學(xué)文化作為課程新知識(shí)的引入點(diǎn)。以有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)史料等作為數(shù)學(xué)分析課程新知識(shí)引入時(shí)的切入點(diǎn)。
教學(xué)案例：以“無(wú)窮悖論”這一“奇怪”的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，作為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散，以及條件收斂時(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的加法交換律和結(jié)合律不成立這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的引子。
捷克哲學(xué)家Bolzano在《無(wú)窮悖論》（1781-1848）中提到一個(gè)例子：1和-1交替出現(xiàn)的級(jí)數(shù)，即1-1+1-1+1-1+…。為了計(jì)算這個(gè)級(jí)數(shù)，通過(guò)三種不同的方法會(huì)得出三種不同的答案。方法一：一開始就進(jìn)行相鄰兩數(shù)的歸納計(jì)算，則有1-1+1-1+1-1+…=（1-1）+（1-1）+（1-1）+…=0+0+0+…=0，答案是0。方法二：牡詼個(gè)數(shù)開始再進(jìn)行相鄰兩數(shù)的歸納計(jì)算，則有1-1+1-1+1-1+…=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0+0+…=1，答案是1。方法三：Grundy用代數(shù)方法，設(shè)級(jí)數(shù)和為x，則有x=1-1+1-1+1-1+…=1-（1-1+1-1+1-…）=1-x，解方程知x=1/2，因此答案是1/2。
利用這一悖論首先激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣，之后自然引出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，以及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散?？挛靼l(fā)現(xiàn)，無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和運(yùn)算也可能沒有答案。若以方法三假定它存在，其結(jié)果必會(huì)引起混亂。從而引出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。
另外，有限個(gè)數(shù)相加時(shí)，不管相加的順序如何變化，答案相同。但柯西發(fā)現(xiàn)這一加法法則在無(wú)窮個(gè)數(shù)的加法運(yùn)算中已經(jīng)不成立了，這便是方法一和方法二悖論產(chǎn)生的原因之一。從而引出無(wú)窮級(jí)數(shù)的加法交換律和結(jié)合律不一定成立這一知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而引出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)條件收斂的知識(shí)。
2.以“項(xiàng)目”為導(dǎo)向，加強(qiáng)“問題解決”的教學(xué)設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)文化中一個(gè)重要的方面，就是數(shù)學(xué)在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用。為了增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，采用以項(xiàng)目為導(dǎo)向，加入讓學(xué)生研究實(shí)際案例、解決問題這一教學(xué)環(huán)節(jié)，進(jìn)行數(shù)學(xué)分析知識(shí)的講授。所謂項(xiàng)目，在夏德斯的教學(xué)方法體系下是指：為了解決技術(shù)與實(shí)踐中的生活問題而設(shè)計(jì)的問題解決過(guò)程。在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)應(yīng)用，這樣既可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)分析課程的應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的產(chǎn)生背景與發(fā)展，體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)，揭開數(shù)學(xué)的神秘面紗，又可在應(yīng)用中進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)分析的思想方法，幫助學(xué)生加深理解。
教學(xué)案例：在數(shù)學(xué)分析“多元函數(shù)極值問題”的教學(xué)中，提出有實(shí)際應(yīng)用背景方面的例題，比如銷售收入和廣告費(fèi)用支出之間的關(guān)系。學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法，發(fā)現(xiàn)這一問題所對(duì)應(yīng)的模型為一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)問題，也就是數(shù)學(xué)分析中的多元函數(shù)極值問題。之后，我們?cè)匍_始進(jìn)行課程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)。
3.以數(shù)學(xué)史為載體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)分析的人文性。我國(guó)老一輩數(shù)學(xué)家余介石等人主張“歷史之于數(shù)學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，阻生后學(xué)高山仰止之思，收聞風(fēng)興起之效，更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調(diào)劑，不至相背，反可想成，誠(chéng)為教師最宜留意體會(huì)之一事也?！盵9]將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，以及對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的渴求，加深對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的理解。另外從數(shù)學(xué)史的整個(gè)發(fā)展趨勢(shì)中，學(xué)生可以初步了解微積分知識(shí)的基本框架。
而且，在教學(xué)中，談?wù)剶?shù)學(xué)界的名人軼事，使其成為課堂上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明推導(dǎo)之余的興奮劑。通過(guò)在知識(shí)點(diǎn)處閃現(xiàn)數(shù)學(xué)家為了追求真理，堅(jiān)持不懈的精神，幫助學(xué)生正確看待學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的困難，執(zhí)著追求。
教學(xué)案例：三次數(shù)學(xué)危機(jī)。在數(shù)學(xué)史上，貫穿著矛盾的斗爭(zhēng)與解決，當(dāng)矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。而危機(jī)的解決，往往能給數(shù)學(xué)帶來(lái)新的內(nèi)容、新的發(fā)展，甚至引起革命性的變革。
在教學(xué)中，引入數(shù)學(xué)發(fā)展的三次關(guān)于基礎(chǔ)理論的危機(jī)。以華東師范大學(xué)版《數(shù)學(xué)分析》教材為例，在第一章“實(shí)數(shù)集與函數(shù)”的教學(xué)中，引入第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的故事：有理數(shù)。危機(jī)的產(chǎn)生――希帕索斯悖論（邊長(zhǎng)為1的正方形，其對(duì)角線長(zhǎng)度為多少呢）；危機(jī)的緩解――兩百年后，歐多克索斯建立的比例論，巧妙地避開無(wú)理數(shù)這一邏輯上的危機(jī)；危機(jī)的解決――直到19世紀(jì)下半葉，實(shí)數(shù)理論的建立，無(wú)理數(shù)的本質(zhì)被徹底搞清。通過(guò)了解第一次危機(jī)，既可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生開展創(chuàng)新，又使學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)有了更深刻的理解，增加了對(duì)實(shí)數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的興趣。
在“無(wú)窮小量”的教學(xué)中，引入第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的故事：無(wú)窮小是零嗎。危機(jī)的產(chǎn)生――貝克萊悖論（無(wú)窮小量在牛頓的理論中一會(huì)兒是零，一會(huì)兒又不是零）；危機(jī)的緩解――實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理；危機(jī)的解決――在實(shí)數(shù)論的問題，導(dǎo)致了集合論的誕生。通過(guò)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，學(xué)生可以加深理解：無(wú)窮小是一類趨向于零的常數(shù)，而常數(shù)零數(shù)列是一類特殊的無(wú)窮小量。
之后，可繼續(xù)給學(xué)生講第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的故事：集合論中自相矛盾的理發(fā)師問題。危機(jī)產(chǎn)生――羅素悖論（理發(fā)師只給所有不給自己理發(fā)的人理發(fā)，不給那些給自己理發(fā)的人理發(fā)，那么他要不要給自己理發(fā)呢）；危機(jī)的緩解――哥德爾不完全定理的證明結(jié)束了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭(zhēng)論，宣告了把數(shù)學(xué)徹底形式化的愿望是不可能實(shí)現(xiàn)的。
4.在教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)分析之美。大數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰人的情懷，繪畫使人賞心目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！痹诮虒W(xué)中，利用圖案、錄像，讓學(xué)生以數(shù)學(xué)欣賞為切入點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，為數(shù)學(xué)的魅力所吸引，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力。
教學(xué)案例：在定積分、重積分的應(yīng)用中，輔以圖形加以講解，在教學(xué)中讓學(xué)生感受數(shù)與形的調(diào)和，感受幾何學(xué)的優(yōu)雅。在傅里葉級(jí)數(shù)的教學(xué)中，如果按傳統(tǒng)方式教學(xué)，傅里葉公式及其推導(dǎo)證明的嚴(yán)肅復(fù)雜性，會(huì)使學(xué)生望而生畏。我們配以生動(dòng)的圖像來(lái)講解，既使學(xué)生易于理解，又可增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和樂趣。
總之，通過(guò)將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)分析的教學(xué)之中，讓學(xué)生可以更好地掌握數(shù)學(xué)分析的知識(shí)體系和思維方法，了解數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使其更為高效地學(xué)習(xí)。
【摘 要】高中數(shù)學(xué)有著較強(qiáng)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思考方式，能拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，豐富學(xué)習(xí)方式。高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)分析思想有類比與歸納、逆向思維、化歸思想、整體思想四種，研究分析這四種數(shù)學(xué)分析思想，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想教育，幫助學(xué)生將其實(shí)踐運(yùn)用到解題中，能有效提高學(xué)生解題效率，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教育的進(jìn)步。
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)分析思想；解題技巧；應(yīng)用研究
數(shù)學(xué)分析思想是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的關(guān)鍵，能夠幫助學(xué)生合理運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，逐漸形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念和創(chuàng)新思維。高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開解題，而目前很多高中學(xué)生只會(huì)做題，對(duì)題目背后的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法理解不夠透徹，同一題型盲目套用同一種解題方法，缺乏創(chuàng)新能力。所以，為了提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)有創(chuàng)新意識(shí)、邏輯思維能力強(qiáng)的人才，必須加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)分析思想的教育。
一、高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用數(shù)學(xué)分析思想的意義
（一）開拓學(xué)生的思維潛能
通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)分析思想，充分發(fā)散思維，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，解決引申、變通出來(lái)的習(xí)題，真正將知識(shí)為己所用，從而拓寬學(xué)生的解題思路，開發(fā)學(xué)生的思維潛能，讓學(xué)生的思維更靈活，更有創(chuàng)造性。
（二）提高學(xué)生的觀察能力
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也需要學(xué)生要有較強(qiáng)的觀察能力，數(shù)學(xué)分析思想能讓學(xué)生養(yǎng)成好的觀察習(xí)慣，透過(guò)數(shù)學(xué)習(xí)題表面，挖掘其中潛藏的數(shù)學(xué)原理，將理論知識(shí)與實(shí)踐聯(lián)系起來(lái)，繼而解決實(shí)際問題，認(rèn)清事物的本質(zhì)。
（三）提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果
在高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用數(shù)學(xué)分析思想能夠激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有效促進(jìn)學(xué)生解題效率的提升和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的進(jìn)一步提高。
二、數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐運(yùn)用
高中數(shù)學(xué)解題常用的數(shù)學(xué)分析思想有類比與歸納、逆向思維、化歸思想、整體思想四種。
（一）類比與歸納思想
類比與歸納思想是指在解題時(shí)通過(guò)對(duì)比形式或本質(zhì)相近的事物，從中歸納、總結(jié)出共同點(diǎn)，訓(xùn)練解題技能，是高中數(shù)學(xué)解題最常用的一種數(shù)學(xué)思想。函數(shù)題計(jì)算中運(yùn)用類比與歸納思想，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，避免學(xué)生盲目做題。比如題目cosx/2?cosx/22?cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n?sinx/2n），分析題目可以發(fā)現(xiàn)，等式的左邊有一定規(guī)律，符合2sinx/2cosx/2=sinx，再根據(jù)規(guī)律進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)左邊等式可以變形為2sinx/2ncosx/2n=sinx/2n-1，繼續(xù)替換、計(jì)算后，等式左邊與原等式右邊一樣，都是sinx/（2n?sinx/2n），可以證明出cosx/2?cosx/22?cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n?sinx/2n）。
（二）逆向思維
逆向思維是數(shù)學(xué)思維中最重要的思維方式之一，適用于題型比較復(fù)雜，正面解題困難，運(yùn)算量較大的題目中。以題目“已知a-b=c，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，求解c的值”為例，學(xué)生在解這道題時(shí)往往會(huì)通過(guò)配方消元的方法來(lái)解出c的值，但這道題目含有許多未知元素，用配方消元來(lái)解的話需要大量運(yùn)算，運(yùn)算過(guò)程也相對(duì)比較復(fù)雜，這時(shí)可以運(yùn)用逆向思維分析題目，提高解題效率。題目中已經(jīng)有了a，b，c的等量關(guān)系，從逆向思考一元二次方程的定義，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，得出方程的解就是a和b，然后再通過(guò)韋達(dá)定理可以得出a與b的和為1，a與b的積為-c/2，題干中已經(jīng)給出條件a-b=c，此時(shí)就能快速計(jì)算出這道題的答案。高中數(shù)學(xué)題中也比較常遇見這種題型：求5-52-53-54-55-56-57-58-59+510的結(jié)果，在計(jì)算此類型題目時(shí)，一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)的計(jì)算既浪費(fèi)時(shí)間，也很容易算錯(cuò)，而運(yùn)用逆向思維， 從右到左利用5n-5n-1=5n-1的規(guī)律來(lái)計(jì)算，可以快速得出結(jié)果，大大提高做題效率。
（三）化歸思想
化歸思想是指在解題時(shí)將一些復(fù)雜的、難解決的問題轉(zhuǎn)化成容易解決的問題，其核心觀點(diǎn)就是化難為易，將未知的問題轉(zhuǎn)換為已知的。化歸思想最重要的就是如何尋求化歸方法，確定明確化歸目標(biāo)，以2010年江蘇理科高考數(shù)學(xué)題“設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，求x3/y4的最大值”為例，直接解題時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題形式不易構(gòu)造，計(jì)算很花時(shí)間，所以需要等價(jià)轉(zhuǎn)化，將x3/y4轉(zhuǎn)換為（x2/y）2?1/xy2，由題目可知，3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，所以1/8≤1/xy2≤1/3，16≤（x2/y）2≤81，可以得出2≤x3/y4≤27，x3/y4的最大值為27。也就是指，化歸思想要將高次轉(zhuǎn)為低次，多元轉(zhuǎn)為一元，三維轉(zhuǎn)向二維，以實(shí)現(xiàn)由難到易的轉(zhuǎn)換。
（四）整體思想
高中數(shù)學(xué)題經(jīng)常會(huì)整合課本知識(shí)，從另一角度考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，整體思想就是讓學(xué)生立足整體，綜合運(yùn)用已經(jīng)學(xué)到的知識(shí)解決未知問題。比如求tan15°+tan15°tan60°的值，課本沒有直接給出tan15°的值是多少，但根據(jù)三角函數(shù)公式，可以計(jì)算將題目整體變形，計(jì)算出答案。
三、總結(jié)
高中數(shù)學(xué)題看似復(fù)雜，計(jì)算困難，但歸根究底仍是對(duì)課本知識(shí)的變相考察，這就需要學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)分析思想，并在解題時(shí)能綜合運(yùn)用整體思想、化歸思想、類比與歸納思想、逆向思維等數(shù)學(xué)分析思想，加快解題速度，提高學(xué)習(xí)效率。
分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對(duì)問題進(jìn)行陳述的材料；能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地加以表述。分析和解決問題的能力是邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空g想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)。高考數(shù)學(xué)科的命題原則是在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的考查，注重?cái)?shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)綜合性。這就對(duì)考生分析和解決問題的能力提出了更高的要求，也使試卷的題型更新，更具有開放性。下面筆者就分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)策略談幾點(diǎn)看法。
一、分析和解決問題能力的組成
（一）審題能力
審題是對(duì)條件和問題進(jìn)行全面認(rèn)識(shí)，對(duì)與條件和問題有關(guān)的全部情況進(jìn)行分析研究，它是如何分析和解決問題的前提。審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質(zhì)的能力；分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化已知和所求的能力。要快捷、準(zhǔn)確地解決問題，掌握題目的數(shù)形特點(diǎn)，能對(duì)條件或所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是至關(guān)重要的。由此可見，審題能力是分析和解決問題能力的一個(gè)基本組成部分。
（二）合理應(yīng)用知識(shí)、思想和方法解決問題的能力
高中數(shù)學(xué)知識(shí)包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容；數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化等；數(shù)學(xué)方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、配方法等基本方法。只有理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)、思想和方法，才能解決高中數(shù)學(xué)中的一些基本問題；而合理選擇和應(yīng)用知識(shí)、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢。
（三）數(shù)學(xué)建模能力
近幾年來(lái)，在高考數(shù)學(xué)試卷中，都有幾道實(shí)際應(yīng)用問題。這給學(xué)生分析和解決問題的能力提出了挑戰(zhàn)。而數(shù)學(xué)建模能力是解決實(shí)際應(yīng)用問題的重要途徑和核心。
二、培養(yǎng)和提高分析和解決問題能力的策略
（一）重視通性通法教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生概括、領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法
數(shù)學(xué)思想較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，有更高的層次和地位。它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，它是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，屬于思維的范疇，用于對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段。只有概括了數(shù)學(xué)思想與方法，才能在分析和解決問題時(shí)得心應(yīng)手；只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想與方法，書本上的、別人的知識(shí)技巧才會(huì)變成自己的能力。
每一種數(shù)學(xué)思想與方法都有其適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論。如分類討論思想可以分成：（1）由于概念本身需要分類的，像等比數(shù)列的求和公式中對(duì)公比口的分類和直線方程中對(duì)斜率k的分類等；（2）同解變形中需要分類的，如含參問題中對(duì)參數(shù)的討論，解不等式組中解集的討論等，又如數(shù)學(xué)方法的選擇，二次函數(shù)問題常用配方法，含參問題常用待定系數(shù)法等。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)重視通性通法，淡化特殊技巧，使學(xué)生認(rèn)識(shí)一種思想或方法的個(gè)性，即認(rèn)識(shí)一種數(shù)學(xué)思想或方法對(duì)于解決什么樣的問題有效，從而培養(yǎng)和提高學(xué)生合理、正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法分析和解決問題的能力。
（二）加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)，提高學(xué)生的模式識(shí)別能力
高考是注重能力的考試，特別是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問題和解決問題的能力，更是考查的重點(diǎn)。而高考中的應(yīng)用題就著重考查這方面的能力。這從新版的《考試說(shuō)明》與舊版的《考試說(shuō)明》的對(duì)比中可見一斑（新版將“分析和解決問題的能力”改為“解決實(shí)際問題的能力”）。
數(shù)學(xué)是充滿模式的。就應(yīng)用題而言，對(duì)其數(shù)學(xué)模式的識(shí)別是解決它的前提。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不但要重視應(yīng)用題的教學(xué)，同時(shí)要對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型。這樣學(xué)生才能有的放矢，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法分析和解決實(shí)際問題。
（三）適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識(shí)面
要分析和解決問題，必先理解題意，才能進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題。近年來(lái)，社會(huì)的飛速發(fā)展要求數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出具有更高數(shù)學(xué)素質(zhì)、更強(qiáng)創(chuàng)造能力的人才。這一點(diǎn)體現(xiàn)在高考中，就是一些新背景題、開放題的出現(xiàn)，更加注重能力的考查。由于開放題的特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結(jié)論，而新背景題的背景新，這給學(xué)生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩，導(dǎo)致學(xué)生失分率較高。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，是提高學(xué)生分析和解決問題能力的必要補(bǔ)充。
（四）重視解題的回顧
解決問題以后，再回過(guò)頭來(lái)對(duì)解題過(guò)程加以回顧與探討、分析與研究，是解題教學(xué)非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。這是數(shù)學(xué)解題過(guò)程的最后階段，也是對(duì)提高學(xué)生分析和解決問題能力最有意義的階段。解題教學(xué)的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝栴}的結(jié)果，而是為了提高學(xué)生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神。而這一教學(xué)目的恰恰主要通過(guò)回顧解題教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn)。所以，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要十分重視解題的回顧，與學(xué)生一起對(duì)解題的結(jié)果和解法進(jìn)行細(xì)致的分析，對(duì)解題的主要思想、關(guān)鍵因素和同一類型問題的解法進(jìn)行概括，幫助學(xué)生從解題中總結(jié)出數(shù)學(xué)的基本思想和方法，并將它們用到新的問題中去，成為以后分析和解決問題的有力武器。
【內(nèi)容摘要】與其他課程相較，高中數(shù)學(xué)的邏輯性較強(qiáng)，且對(duì)學(xué)生自身的要求較高，要想做到準(zhǔn)確、快速的解題，較強(qiáng)的分析能力與扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)缺一不可，同樣靈活的應(yīng)用能力及多角度思維能力也十分關(guān)鍵。分析是解題的首要前提，通過(guò)學(xué)生分析問題的過(guò)程可很好的反映出其自身的數(shù)學(xué)能力，因此提升學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力非常必要。以下本文將簡(jiǎn)單分析提高高中學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力的關(guān)鍵因素，重點(diǎn)就提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力的有效途徑展開詳細(xì)論述。
【關(guān)鍵詞】高中學(xué)生 數(shù)學(xué) 分析能力 提升途徑 關(guān)鍵因素
高中數(shù)學(xué)具有較為鮮明的特點(diǎn)，如復(fù)雜性、關(guān)聯(lián)性、邏輯性等，作為一名高中生具備較強(qiáng)的分析能力可以幫助其提高學(xué)習(xí)效率，做到舉一反三、一題多解，反之，則會(huì)出現(xiàn)解題效率低、數(shù)學(xué)難等不良情緒。大部分的數(shù)學(xué)學(xué)困生在分析能力上都比^弱，究其根本與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、應(yīng)用能力不強(qiáng)有著直接的關(guān)聯(lián)，為了更好的幫助學(xué)生積極應(yīng)戰(zhàn)高考，提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力勢(shì)在必行，需要學(xué)生從自我做起，有意識(shí)的進(jìn)行改進(jìn)。
一、提高高中學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力的關(guān)鍵因素
影響高中學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力非常之多，要想提升學(xué)生的分析能力應(yīng)抓住主要因素進(jìn)行強(qiáng)化，這樣可起到較強(qiáng)的促進(jìn)作用。
首先，培養(yǎng)思考習(xí)慣。數(shù)學(xué)學(xué)困生其最明顯的特點(diǎn)是思維懶惰，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解僅停留在表面上，稍微提高點(diǎn)難度就會(huì)望而卻步，長(zhǎng)此以往，數(shù)學(xué)成績(jī)將遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于他人。具備良好思考習(xí)慣的學(xué)生會(huì)積極主動(dòng)去解決問題、思考問題，通過(guò)長(zhǎng)期持續(xù)性的問題思考，其自身的分析能力將會(huì)明顯提高。其次，培養(yǎng)分析觀察能力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，較強(qiáng)的分析觀察能力可以幫助學(xué)生快速提煉重要信息，分析解題的效率也會(huì)大大提升。第三，注重基礎(chǔ)知識(shí)累積。數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)是一個(gè)逐步遞增的學(xué)習(xí)過(guò)程，基礎(chǔ)不牢靠必然會(huì)影響到后續(xù)能力的提升，扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也是進(jìn)行數(shù)學(xué)問題分析的重要影響因素。第四，學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。數(shù)學(xué)題目分析的途徑多種多樣，敢于創(chuàng)新、勤于思考對(duì)學(xué)生分析能力的提升意義重大。上述幾種因素都會(huì)影響到學(xué)生分析能力的形成，需要學(xué)生自發(fā)的進(jìn)行改進(jìn)。
二、提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力的有效途徑
1.轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)觀念，主動(dòng)積極參與課堂活動(dòng)
數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用型學(xué)科，學(xué)生只有做到真正理解才能提升學(xué)習(xí)效率及質(zhì)量。新課標(biāo)實(shí)施背景下，教師普遍認(rèn)可學(xué)生的主體地位，學(xué)生自身也要充分把握機(jī)會(huì)，在課堂上積極主動(dòng)參與，充分發(fā)揮出自身的主體作用去學(xué)習(xí)和探討，提升自身的綜合素養(yǎng)。數(shù)學(xué)分析能力的提升是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，首先學(xué)生應(yīng)從基礎(chǔ)做起，由淺入深的去提高學(xué)習(xí)的自信心，養(yǎng)成鍥而不舍的解題意識(shí)，積極去解決、克服學(xué)習(xí)中的困難，從學(xué)習(xí)中找到學(xué)習(xí)的樂趣，真正愛上數(shù)學(xué)。
2.明確自身的優(yōu)缺點(diǎn)
數(shù)學(xué)分析能力提升需要學(xué)生自發(fā)的去培養(yǎng)和重視，作為一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體――學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)充分認(rèn)知自我，抓住自己的學(xué)習(xí)特點(diǎn)去進(jìn)行管理，認(rèn)真聽取教師的講解及分析，去模仿和分析教師的解題思路，從中找尋出適合自己的解題途徑，通過(guò)日積月累學(xué)生自身的分析能力必然有所提高。學(xué)生可以從例題分析開始，抓住各知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用解題方法，有意識(shí)的提升自己的分析理解能力。
3.重視基礎(chǔ)，逐步深化學(xué)習(xí)難度
數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系較強(qiáng)，分析能力提升不可急于求成，學(xué)生和教師都應(yīng)正視這一點(diǎn)，慢慢的去改進(jìn)和提升。如在二次函數(shù)的復(fù)習(xí)中，學(xué)生可采用逐層深化難度的方式去實(shí)現(xiàn)。
第一階段：求出下列函數(shù)在x∈[0，3]時(shí)的最大、最小值：（1）y=（x -1）2+1；（2）y=（x+1）2+1；（3） y=（x-4）2+1。
第二階段：求函數(shù)y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]時(shí)的最小值。
第三階段：求函數(shù)y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。
通過(guò)層層遞進(jìn)，每做完一題，學(xué)生應(yīng)正確說(shuō)出分析這類問題的要點(diǎn)，如此既可檢驗(yàn)自己基礎(chǔ)能力，同時(shí)還能提高學(xué)習(xí)的效率。
4.在理解題意上下工夫，把已知條件與所學(xué)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)
由數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)所決定，要學(xué)好數(shù)學(xué)，需以“理解”二字為先，只有把題意理解清楚了，才能找到合適的解題思路。同時(shí)，理解的過(guò)程，也就是把新知識(shí)納入舊知識(shí)體系，在推理中結(jié)合新舊知識(shí)的運(yùn)用條件，順利地由條件轉(zhuǎn)化得出結(jié)論的過(guò)程，隨著理解能力的增強(qiáng)，數(shù)學(xué)分析能力也有所提高。
5.總結(jié)規(guī)律，有利于提高分析能力
任何一門知識(shí)的獲取，都遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，即由淺入深，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，邏輯思維的推理也遵循一定的規(guī)律，這些規(guī)律蘊(yùn)涵于已知與求證之間，因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要不斷地總結(jié)規(guī)律，從千變?nèi)f化的圖形變換中，分析找出一般的、常用的推理方法，為解答綜合性題目打下基礎(chǔ)，通過(guò)不斷地總結(jié)，使數(shù)學(xué)分析能力進(jìn)一步加強(qiáng)。
總結(jié)
新時(shí)期，高中學(xué)生需要時(shí)刻提高自我要求，積極主動(dòng)的參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，轉(zhuǎn)變不良思想，努力克服學(xué)習(xí)中的困難，力求通過(guò)與教師的及時(shí)溝通、自我分析及提升來(lái)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量，真正做到學(xué)以致用。數(shù)學(xué)分析能力提升的途徑多種多樣，學(xué)生應(yīng)正視自身的不足與優(yōu)勢(shì)，正確選擇適合自己的途徑去提升和改進(jìn)，從根本上強(qiáng)化自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為高考儲(chǔ)蓄更多的能量。
（作者單位：山東省濱州市惠民縣第一中學(xué)2014級(jí)部）
【摘要】本文分析了本科院校數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課“數(shù)學(xué)分析”緒論在課程教學(xué)中的重要地位和重要性.針對(duì)地方本科院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的特點(diǎn)，給出了“數(shù)學(xué)分析”緒論的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì).該教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一方面能夠給學(xué)生初步搭建起“數(shù)學(xué)分析”課程體系的框架，讓學(xué)生明白這門課要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容及其相互關(guān)系；另一方面，該課程設(shè)計(jì)從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度給學(xué)生闡述高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別，使學(xué)生能夠盡快從高中的公式恒等變形的初等數(shù)學(xué)思方式轉(zhuǎn)換到以變化的觀點(diǎn)分析和研究問題的高等數(shù)學(xué)思維方式中來(lái).
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；緒論；教學(xué)設(shè)計(jì)；地方院校
一、引言
“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)專業(yè)的最重要的必修基礎(chǔ)課，“數(shù)學(xué)分析”中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)在實(shí)際中應(yīng)用和進(jìn)行數(shù)學(xué)理論研究的基石，通過(guò)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)要使學(xué)生受到基本和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練[1].“數(shù)學(xué)分析”緒論的教學(xué)是整個(gè)數(shù)學(xué)分析教學(xué)過(guò)程的序幕，其重要性不言而喻.一方面，“數(shù)學(xué)分析”緒論是“數(shù)學(xué)分析”課程的第一次課，其重要作用在于給學(xué)生初步搭建起“數(shù)學(xué)分析”課程體系的“森林”，讓學(xué)生明白這門課要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容及其相互關(guān)系，讓學(xué)生先見到“森林”，能夠縱觀數(shù)學(xué)分析的大致面貌，這樣在以后認(rèn)識(shí)“樹木”，也就是學(xué)習(xí)各章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，學(xué)生心里才會(huì)知道這個(gè)知識(shí)點(diǎn)表示的“樹木”處于森林中的什么地位，這樣才能做到“既見樹木又見森林”.另一方面，“數(shù)學(xué)分析”緒論也是學(xué)生由初等數(shù)學(xué)（從幼兒園到高中所學(xué)的數(shù)學(xué)）階段進(jìn)入高等數(shù)學(xué)（大學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)）階段的第一堂課，因此，“數(shù)學(xué)分析”緒論也承擔(dān)著從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度給學(xué)生闡述高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別的重要任務(wù).
然而，很多地方高校對(duì)于“數(shù)學(xué)分析”緒論的教學(xué)重視程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.有的教師在緒論課上只介紹了“數(shù)學(xué)分析”課程的主要內(nèi)容，而忽略了初、高等數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系.有的教師側(cè)重于介紹數(shù)學(xué)發(fā)展史，而忽略了給學(xué)生搭建“數(shù)學(xué)分析”課程體系的框架.更有甚者，只把對(duì)學(xué)生的要求簡(jiǎn)單說(shuō)罷便開始單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的講解，完全忽略了“數(shù)學(xué)分析”緒論的重要性，這樣教出來(lái)的學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)分析”的體系框架根本沒有了解，學(xué)完課程也不知道學(xué)了些什么，只有各知識(shí)點(diǎn)，但是缺乏一條串起這些知識(shí)點(diǎn)的主線.本文作者多年從事“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)，對(duì)“數(shù)學(xué)分析”緒論的重要性有深刻的認(rèn)識(shí)，經(jīng)過(guò)多年的探索，已經(jīng)形成了“數(shù)學(xué)分析”緒論教學(xué)的特色，既給學(xué)生搭建起笛Х治齙目蚣芴逑擔(dān)讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)分析各部分之間的關(guān)系，又讓學(xué)生明白從幼兒園開始到高中所學(xué)的數(shù)學(xué)課程與進(jìn)入大學(xué)中要學(xué)的高等數(shù)學(xué)課程的區(qū)別，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中不至于感到迷茫.以下詳細(xì)給出“數(shù)學(xué)分析”緒論的教學(xué)過(guò)程.
二、“數(shù)學(xué)分析”緒論教學(xué)過(guò)程
同學(xué)們來(lái)到大學(xué)，選擇了數(shù)學(xué)專業(yè)，要學(xué)習(xí)很多數(shù)學(xué)課程，“數(shù)學(xué)分析”就是其中第一門，同時(shí)也是最重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一.在開始學(xué)習(xí)這門課的時(shí)候，大家自然要問，數(shù)學(xué)分析與中學(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)的初等數(shù)學(xué)有什么不同？它的研究對(duì)象與基本思想方法是什么？下面就來(lái)簡(jiǎn)要地講一講這些問題.
總的說(shuō)來(lái)，初等數(shù)學(xué)研究的是離散量的運(yùn)算體系，包括加法與乘法以及它們的逆運(yùn)算――減法與除法.而“數(shù)學(xué)分析”提供的是連續(xù)量的運(yùn)算體系及其數(shù)學(xué)理論.“數(shù)學(xué)分析”的主要內(nèi)容是微積分，研究對(duì)象是函數(shù)，立論數(shù)域是實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)，采用的研究工具是極限.
大家知道，現(xiàn)實(shí)世界中的萬(wàn)事萬(wàn)物，無(wú)一不在一定的空間中運(yùn)動(dòng)變化，在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中都存在一定的數(shù)量關(guān)系.按照恩格斯的說(shuō)法，數(shù)學(xué)就是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué).簡(jiǎn)略地說(shuō)，就是研究數(shù)和形的科學(xué).時(shí)至今日，雖然數(shù)學(xué)的內(nèi)容更加豐富，方法更加綜合，應(yīng)用更加廣泛，但是關(guān)于數(shù)學(xué)的上述說(shuō)法大體上還是正確的.只是隨著人們對(duì)事物認(rèn)識(shí)的逐漸深化，作為研究對(duì)象的“數(shù)”和“形”，在數(shù)學(xué)發(fā)展的不同階段，它們的內(nèi)涵和表現(xiàn)形式也不相同罷了！
歷史上，數(shù)學(xué)的發(fā)展可以劃分為三個(gè)階段.
第一階段是從古希臘時(shí)代（公元前5世紀(jì)―公元前3世紀(jì)）到17世紀(jì)中葉.在這長(zhǎng)達(dá)兩千多年的時(shí)期內(nèi)，由于生產(chǎn)力的落后，人們把客觀世界中各種事物看成是孤立的、靜止不變的，因而，數(shù)學(xué)中研究的“數(shù)”基本上是常數(shù)或常量（即在某一運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中保持不變或相對(duì)保持不變、可以看作取固定值的量），研究的“形”也主要是簡(jiǎn)單的、不變的、規(guī)則的幾何形體（例如，直線段、直邊形與直面形等）.研究常量間的代數(shù)運(yùn)算和規(guī)則幾何形體內(nèi)部及相互間的關(guān)系，分別形成了初等代數(shù)和初等幾何，統(tǒng)稱為初等數(shù)學(xué).因此，這個(gè)階段常被稱為初等數(shù)學(xué)階段或常量數(shù)學(xué)階段.
第二階段是從1637年法國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾（R.Descartes，1596―1650）建立解析幾何到19世紀(jì)末.在這個(gè)階段中，由于工業(yè)革命的興起，推動(dòng)了機(jī)械、造船、采礦、航海和修建鐵路等新興工業(yè)的建立和發(fā)展，大大拓寬了人們的視野.加深了人類對(duì)自然界的認(rèn)識(shí).意大利數(shù)學(xué)家、現(xiàn)代物理學(xué)奠基人伽利略（G.Galileo，1564―1642）和德國(guó)天文學(xué)家開普勒（J.Kepler，1571―1630）的一系列發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)從古典數(shù)學(xué)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折.在25歲以前，伽利略就開始做了一系列實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)了許多有關(guān)物體在地球引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基本事實(shí).開普勒在1619年前后歸納出著名的行星運(yùn)動(dòng)三定律.這些成就對(duì)后來(lái)的絕大部分的數(shù)學(xué)分支都產(chǎn)生了巨大影響.伽利略的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了現(xiàn)代動(dòng)力學(xué)的誕生，開普勒的發(fā)現(xiàn)則產(chǎn)生了現(xiàn)代天體力學(xué).物理、力學(xué)和天文學(xué)等學(xué)科的迅速發(fā)展，產(chǎn)生了以下四類問題：
1.已知物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度.反過(guò)來(lái)，已知物體運(yùn)動(dòng)的加速度和速度，求物體在任意時(shí)刻的速度和路程.
困難在于17世紀(jì)所涉及的速度和加速度每時(shí)每刻都在變化.計(jì)算平均速度可用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間去除運(yùn)動(dòng)的距離.但對(duì)瞬時(shí)速度，運(yùn)動(dòng)的距離和時(shí)間都是0，這就碰到了0比0的問題.這是人類第一次碰到這樣的問題.
2.求曲線的切線.這是一個(gè)純幾何的問題，但對(duì)于科學(xué)應(yīng)用具有重大意義.例如，在光學(xué)中，透鏡的設(shè)計(jì)就用到曲線的切線和法線的知識(shí).在運(yùn)動(dòng)中也遇到曲線的切線問題.運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向，是軌跡的切線方向.
3.求函數(shù)的最大值和最小值問題.在彈道學(xué)中涉及炮彈的射程問題.在天文學(xué)中涉及行星和太陽(yáng)的最近和最遠(yuǎn)距離問題.
4.求積問題.求曲線的弧長(zhǎng)、曲線所圍區(qū)域的面積、曲面所圍的體積、物體的重心等.這些問題在古希臘就已經(jīng)開始研究，但他們的方法缺乏一致性.
這些問題要求建立新的數(shù)學(xué)工具研究物體的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，研究曲線和曲面的性質(zhì).在這種形勢(shì)下，天才的英國(guó)物理學(xué)家、理學(xué)家、天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓（I.Newton，1642―1727）和德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茲（G.W.Leibniz，1646―1716）總結(jié)并發(fā)展了前人的成果，建立了連續(xù)量變化率的直觀概念和計(jì)算方法，發(fā)現(xiàn)了求連續(xù)量累積綜合的問題剛巧是求變化率的逆運(yùn)算，從而各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分的運(yùn)算體系.
牛頓建立了微積分的演算體系以后，受開普勒三定律和重力的啟發(fā)，想到了行星間所受的力為萬(wàn)有引力.他最后成功地運(yùn)用微積分，從開普勒三定律推導(dǎo)出萬(wàn)有引力定律，又反過(guò)來(lái)從萬(wàn)有引力定律推導(dǎo)出開普勒三定律，這就是人類歷史上最偉大的自然科學(xué)著作之一――牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的主要內(nèi)容.從此，微積分逐漸應(yīng)用到一切科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域.像達(dá)朗貝爾（DAlembert，1717―1783）、拉格朗日（Lagrange，1736―1813）、歐拉（Euler，1707―1783）、拉普拉斯（Laplace，1749―1827）、高斯（Gauss，1777―7855），都是運(yùn)用微積分在開拓新領(lǐng)域方面最卓越的數(shù)學(xué)家的代表.
牛頓與萊布尼茲當(dāng)時(shí)建立的微積分概念與演算，是以直觀為基礎(chǔ)的，概念并不準(zhǔn)確，推導(dǎo)公式有明顯的邏輯矛盾.在微積分廣泛應(yīng)用的17―18世紀(jì)，人們沒顧得及（也許是還不可能）解決這些題.到19世紀(jì)，矛盾已積累到非解決不可的程度，這就是第二次數(shù)學(xué)危機(jī).經(jīng)過(guò)人們的長(zhǎng)期努力，最后由柯西（Cauchy，1789―1857）、波爾查諾（Bolzano，1781―1848）、威爾斯特拉斯（Weierstrass，1815―1897）等人，用極限把微積分的概念澄清.但隨后極限的存在性問題開始出現(xiàn)，最終，戴德金（Dedekind，1831―1916）、康托（Cantor，1845―1918）、威爾斯特拉斯等人，又給出了連續(xù)量的數(shù)學(xué)表示，建立了實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的理論，把極限理論建立在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上.微積分基礎(chǔ)的建立，和群論、非歐幾何一起，被譽(yù)為19世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大發(fā)現(xiàn)，它們改變了整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，形成了近代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué).
此后，數(shù)學(xué)的發(fā)展呈現(xiàn)出一日千里之勢(shì)，形成了內(nèi)容豐富的高等代數(shù)、高等幾何與數(shù)學(xué)分析三大分支，并出現(xiàn)了一些其他的相關(guān)分支，它們被統(tǒng)稱為高等數(shù)學(xué).在這個(gè)階段，數(shù)學(xué)中研究的“數(shù)”是變數(shù)或變量（即在某一運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中不斷變化、可以取不同數(shù)值的量），研究的“形”是復(fù)雜的不規(guī)則的幾何形體（例如，曲線、曲面、曲線形與曲面形等）.而且，由于Descartes直角坐標(biāo)系的引入，使“數(shù)”與“形”緊密地聯(lián)系起來(lái)，平面上的點(diǎn)可以用有序數(shù)偶表示，平面曲線（動(dòng)點(diǎn)的軌跡）可以用代數(shù)方程來(lái)表示，因此，“運(yùn)動(dòng)和辯證法便進(jìn)入了數(shù)學(xué)”（恩格斯著《自然辯證法》）.這個(gè)階段被稱為高等數(shù)學(xué)階段或變量數(shù)學(xué)階段.同學(xué)們?cè)诖髮W(xué)本科階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程大多屬于這個(gè)階段的內(nèi)容.
第三個(gè)階段是從19世紀(jì)末開始，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段.至今，這個(gè)階段還在發(fā)展之中.由于集合論的創(chuàng)立，不但為數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而且使得數(shù)學(xué)的研究對(duì)象――“數(shù)”與“形”，具有了更豐富的內(nèi)涵和更廣泛的外延，表現(xiàn)形式也更加抽象.
從研究常量到研究變量，從研究規(guī)則的幾何形體到研究不規(guī)則的幾何形體，是人類對(duì)自然界認(rèn)識(shí)的一大飛躍，是數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn).由于研究的對(duì)象不同，研究的方法也不同.初等數(shù)學(xué)主要采用形式邏輯的方法，靜止地、一個(gè)一個(gè)問題孤立地進(jìn)行研究，而數(shù)學(xué)分析卻不然，它是以極限為工具對(duì)連續(xù)量進(jìn)行研究.
連續(xù)量在生活中隨處可見，時(shí)間和位移是最基本的兩個(gè)連續(xù)量，其他當(dāng)然還有許多.一天中，氣溫隨時(shí)間（連續(xù)）變化，這就是（連續(xù)）函數(shù)的概念.我們研究連續(xù)量，還要進(jìn)一步研究一個(gè)連續(xù)量隨另外一個(gè)連續(xù)量連續(xù)地變化的規(guī)律，這里涉及兩個(gè)最基本的問題，即微分運(yùn)算和積分運(yùn)算.
問題之一是一個(gè)連續(xù)量隨另一個(gè)連續(xù)量變化的“瞬時(shí)”變化率，這就是微分運(yùn)算.
牛頓是以力學(xué)為背景來(lái)研究微積分的，他所建立的導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則稱為“流數(shù)術(shù)”.按照這種方法，我們來(lái)求自由落體運(yùn)動(dòng)在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.
摘 要：最近幾年，隨著我國(guó)教育體制的不斷變革，高校越來(lái)越重視高等數(shù)學(xué)教育問題。數(shù)學(xué)文化是人類文化的一個(gè)重要組成部分，也是數(shù)學(xué)教育與人文思想的總和。高校要想提高自身的數(shù)學(xué)教育水平，就必須重視數(shù)學(xué)文化特征。本文主要分析了數(shù)學(xué)文化概念和特征，并重點(diǎn)講述了基于數(shù)學(xué)文化觀視角的高校數(shù)學(xué)教育有效措施，以期能夠提高高校數(shù)學(xué)教育的水平。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化；高校數(shù)學(xué)教育；特征；有效措施
0 引言
目前，隨著我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，我國(guó)高等數(shù)學(xué)教育也發(fā)生了很大的變化。高等數(shù)學(xué)教育不僅是高校教育中的重點(diǎn)，也是高校教育中的難點(diǎn)，高等數(shù)學(xué)屬于基礎(chǔ)性的一個(gè)重要學(xué)科，它對(duì)高校其他課程都有一定的影響。數(shù)學(xué)文化對(duì)高等數(shù)學(xué)教育有著非常重要的影響作用，它能夠?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)教育提供一個(gè)嶄新的視角。但是，從目前我國(guó)高校數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀來(lái)看，高等數(shù)學(xué)教育中依然存在很多問題亟待解決。因此，高校應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)到高等數(shù)學(xué)的重要性，認(rèn)真把握數(shù)學(xué)的文化特征，并改進(jìn)教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，不斷提高數(shù)學(xué)教師的綜合素質(zhì)，從而提高高等數(shù)學(xué)教育的效率和質(zhì)量[1]。
1 數(shù)學(xué)文化的概念和特征
1.1 數(shù)學(xué)文化的概念
數(shù)學(xué)文化主要指的就是在數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，把數(shù)學(xué)理論、思維等多方面知識(shí)進(jìn)行的有效整合，然后用文化的觀點(diǎn)來(lái)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)存在的文化價(jià)值。在數(shù)學(xué)文化中，它還注重對(duì)數(shù)學(xué)人文特點(diǎn)的分析，對(duì)高等數(shù)學(xué)教育的開展具有非常重要的意義。與此同時(shí)，與其他文化相比，數(shù)學(xué)文化具有獨(dú)特性，它不受到任何國(guó)家和語(yǔ)言的限制，并且在我們的實(shí)際生活中發(fā)揮著不可替代的作用。除此之外，據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)調(diào)查顯示，我國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展是比較漫長(zhǎng)的，而且數(shù)學(xué)也隨著時(shí)間的變化也有了很大的進(jìn)步[2]。最后，高校要想提高數(shù)學(xué)教育水平，就應(yīng)該讓學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)水平。
1.2 數(shù)學(xué)文化的特征
1.2.1 數(shù)學(xué)文化的系統(tǒng)性
針對(duì)數(shù)學(xué)文化來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)文化具有系統(tǒng)性特點(diǎn)。首先，數(shù)學(xué)知識(shí)沒有民族限制，也沒有國(guó)家限制，它屬于全世界人類的文化財(cái)富，具有統(tǒng)一性。其次，數(shù)學(xué)文化是一種傳遞人類思想的方法，它有著獨(dú)特的語(yǔ)言，比如，物理學(xué)科中的真理大都是通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言以及系統(tǒng)來(lái)表達(dá)的，數(shù)學(xué)是其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)。由此可見數(shù)學(xué)文化的系統(tǒng)性。
1.2.2 數(shù)學(xué)文化的個(gè)性
數(shù)學(xué)文化是各個(gè)民族共同努力才形成的，是人類文明的重要組成部分。眾所周知，不同的民族有著不一樣的語(yǔ)言、文化、風(fēng)俗等，從而使得數(shù)學(xué)文化具有很強(qiáng)的差異性和個(gè)性。與此同時(shí)，數(shù)學(xué)文化是人類文化發(fā)展中一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容，數(shù)學(xué)文化在各個(gè)民族中都有廣泛的體現(xiàn)，由此可見數(shù)學(xué)文化的重要性[3]。
1.2.3 數(shù)學(xué)文化的再造性
要想保證數(shù)學(xué)文化能夠長(zhǎng)久穩(wěn)定地發(fā)展下去，各大高校就應(yīng)該重視數(shù)學(xué)教育活動(dòng)。經(jīng)過(guò)多年的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)可以看出，數(shù)學(xué)文化具有穩(wěn)定性和再造性，我們能夠通過(guò)數(shù)學(xué)教育活動(dòng)來(lái)影響下一代人，把數(shù)學(xué)文化傳承下去，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的再造性。
2 基于數(shù)學(xué)文化觀視角的高校數(shù)學(xué)教育意義
2.1 有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
眾所周知，數(shù)學(xué)學(xué)科是一個(gè)比較難懂的學(xué)科，如果教師不采用一些合理的方法，那么就會(huì)使得學(xué)生缺乏對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。因此，很多高校的數(shù)學(xué)教師都在授課時(shí)，引用數(shù)學(xué)文化知識(shí)，通過(guò)講數(shù)學(xué)小故事或者展示數(shù)學(xué)圖片的方法來(lái)提高課堂學(xué)習(xí)的氣氛，從而使得數(shù)學(xué)的公式、內(nèi)容都不顯得很枯燥[4]?？傊?，引用數(shù)學(xué)文化知識(shí)，能夠有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而提高高等數(shù)學(xué)的教育質(zhì)量。
2.2 有利于培養(yǎng)學(xué)生欣賞美的能力
數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵是豐富多彩的，教師在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，應(yīng)該不斷挖掘數(shù)學(xué)文化，給學(xué)生展現(xiàn)出數(shù)學(xué)的美，讓學(xué)生都能夠充分認(rèn)識(shí)到高等數(shù)學(xué)的重要性，不斷培養(yǎng)學(xué)生的審美意識(shí)，從而提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。
2.3 有利于促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)教育的發(fā)展
從以往傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教育來(lái)看，在高等數(shù)學(xué)教育的過(guò)程中，很多數(shù)學(xué)教師都只是重視學(xué)生的知識(shí)成分，重點(diǎn)培養(yǎng)了學(xué)生的高等數(shù)學(xué)分析能力，但是，忽視了數(shù)學(xué)文化素質(zhì)的培養(yǎng)，沒有傳授給學(xué)生使用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活問題的能力，從而使得很多大學(xué)生都缺乏數(shù)學(xué)人文精神的教育。因此，為了改變這一現(xiàn)狀，越來(lái)越多的高校注重?cái)?shù)學(xué)文化的教育，給數(shù)學(xué)課堂教育帶來(lái)了很多的生機(jī)和活力，有利于促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)教育的發(fā)展。
3 基于數(shù)學(xué)文化觀視角的高校數(shù)學(xué)教育有效措施
3.1 轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，提高數(shù)學(xué)教師素質(zhì)
要想保證數(shù)學(xué)文化繼續(xù)傳承下去，高等數(shù)學(xué)教師就應(yīng)該轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，不斷提高自身的綜合素質(zhì)。高等數(shù)學(xué)教師是數(shù)學(xué)文化的主要傳播者，數(shù)學(xué)教師的思想管理直接影響著高等數(shù)學(xué)的教育質(zhì)量，只有提高了數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)文化知識(shí)水平，才能在具體的教學(xué)中把文化知識(shí)滲透到學(xué)生思想中。因此，高校應(yīng)該重視高等數(shù)學(xué)教師綜合素質(zhì)的提高，不斷轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，重視學(xué)生文化知識(shí)的滲透。
3.2 充實(shí)教學(xué)內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)文化知識(shí)
針對(duì)高等數(shù)學(xué)教育來(lái)說(shuō)，充實(shí)教學(xué)內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)文化知識(shí)具有非常重要的意義。因此，高等數(shù)學(xué)教師在授課時(shí)，應(yīng)該重點(diǎn)講解數(shù)學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)知識(shí)中滲透數(shù)學(xué)文化，不斷豐富高等數(shù)學(xué)文化背景知識(shí)，讓所有學(xué)生能夠得到笛文化的熏陶，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，最終提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果[5]。
3.3 改進(jìn)教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是要把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中，因此，高等數(shù)學(xué)教師應(yīng)該改進(jìn)教學(xué)方法，把數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容和學(xué)生的日常生活有效地結(jié)合在一起，不斷拓展數(shù)學(xué)文化知識(shí)，改進(jìn)教學(xué)方法，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。比如，在進(jìn)行微積分等內(nèi)容的講解時(shí)，高等數(shù)學(xué)教師應(yīng)該讓學(xué)生提前做好課前預(yù)習(xí)，根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容查找與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，充分體會(huì)到數(shù)學(xué)計(jì)算的重要性，從而提高高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率。
3.4 利用信息技術(shù)，全面展示數(shù)學(xué)文化
現(xiàn)如今，隨著我國(guó)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，各行各業(yè)都在使用信息化技術(shù)，高校也不例外。很多高校都在逐漸使用多媒體技術(shù)，多媒體技術(shù)能夠使得數(shù)學(xué)文化知識(shí)變得豐富多彩，高等數(shù)學(xué)教師可以使用視頻、圖片等方法來(lái)把數(shù)學(xué)知識(shí)傳授給學(xué)生，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，保證教學(xué)內(nèi)容變得更加生動(dòng)形象，全面展示數(shù)學(xué)文化，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。
3.5 開設(shè)選修課程，提高學(xué)生文化素養(yǎng)
數(shù)學(xué)知識(shí)比較煩瑣，所以學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的任務(wù)也比較繁重，因此，高校應(yīng)該開設(shè)選修課程，學(xué)生可以根據(jù)自身的興趣愛好進(jìn)行選擇。選修課程能夠在很大程度上彌補(bǔ)課堂上遺留的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，保證學(xué)生能夠及時(shí)掌握課外知識(shí)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。
4 結(jié)束語(yǔ)
總而言之，高等數(shù)學(xué)教育從整體上來(lái)說(shuō)就是數(shù)學(xué)文化教育，它也是高校教育的一個(gè)難點(diǎn)。高校應(yīng)該通過(guò)引入數(shù)學(xué)文化教育，讓學(xué)生都能夠在學(xué)習(xí)中熟練掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中遇到的問題，同時(shí)，高校還應(yīng)該不斷提高數(shù)學(xué)教師的綜合素質(zhì)，改變數(shù)學(xué)教育方法，利用信息技術(shù)，全面展示數(shù)學(xué)文化，從而使得數(shù)學(xué)教育工作取得更好的效果。
【摘 要】研究性學(xué)習(xí)是一種受到廣泛關(guān)注的學(xué)習(xí)模式，本文探討了網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)，并提出了一種基于網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的實(shí)踐模式。
【關(guān)鍵詞】網(wǎng)絡(luò)環(huán)境 研究性學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)分析
研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從自然現(xiàn)象、社會(huì)現(xiàn)象和自我生活中選擇和確定研究專題，并在研究過(guò)程中主動(dòng)地獲取知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。數(shù)學(xué)分析教學(xué)旨在培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，以逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決實(shí)際問題的能力。本文旨在探索如何利用網(wǎng)絡(luò)技術(shù)開展研究性學(xué)習(xí)的方法，力求開辟一條數(shù)學(xué)分析教學(xué)的改革新路。
一、網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下數(shù)學(xué)分析的研究性學(xué)習(xí)
研究性學(xué)習(xí)是為學(xué)生構(gòu)建的一種開放的學(xué)習(xí)環(huán)境，提供一個(gè)多渠道獲取知識(shí)，并將學(xué)到的知識(shí)加以綜合和應(yīng)用于實(shí)踐的機(jī)會(huì)。這種教學(xué)方式是把學(xué)生置于一種動(dòng)態(tài)開放、主動(dòng)、多元的學(xué)習(xí)環(huán)境中，積極發(fā)掘?qū)W生的潛力，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，這也是改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)模式的全新教學(xué)理念。計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)是巨大的知識(shí)與信息的資源庫(kù)，它為數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革提供了一個(gè)平等的、自由的、開放的環(huán)境，容易激發(fā)學(xué)生積極參與各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的主動(dòng)性。網(wǎng)絡(luò)的智能化、交互性特點(diǎn)使學(xué)生可以控制信息、改變信息組織過(guò)程，從而激發(fā)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力。因此，網(wǎng)上豐富的資源與多媒體網(wǎng)絡(luò)環(huán)境為實(shí)施數(shù)學(xué)分析的研究性學(xué)習(xí)提供了重要的條件，其優(yōu)勢(shì)主要表現(xiàn)在：
1．網(wǎng)絡(luò)為數(shù)學(xué)分析的研究性學(xué)習(xí)提供了豐富的信息資源
開放性是研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容選擇上的主要特點(diǎn)。在同一主題下，研究視角的定位、研究目標(biāo)的確定、切入口的選擇、過(guò)程的設(shè)計(jì)、方法手段的運(yùn)用以及結(jié)果和表達(dá)等，均有相當(dāng)大的靈活度，為學(xué)習(xí)者（學(xué)生）、指導(dǎo)者（老師）留有巨大的個(gè)性特長(zhǎng)和發(fā)揮才能的巨大空間。在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)過(guò)程中，伴隨著情境性問題的產(chǎn)生和研究學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生需要了解更多的、相關(guān)的、具體的信息，借助網(wǎng)絡(luò)的巨大搜索引擎功能，學(xué)生可以快速查尋相關(guān)的信息，可以大大節(jié)省學(xué)習(xí)時(shí)間，提高學(xué)習(xí)效率。
2．網(wǎng)絡(luò)虛擬環(huán)境為數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)提供了在現(xiàn)實(shí)中無(wú)法體驗(yàn)的情景
研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容是通過(guò)需要探究的問題來(lái)實(shí)現(xiàn)的，大量的學(xué)習(xí)內(nèi)容是學(xué)生在主動(dòng)探究中或在教師的啟發(fā)幫助下通過(guò)自主選擇獲得的，研究性學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的親身經(jīng)歷，要求學(xué)生參與到各項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)中的每一個(gè)細(xì)節(jié)，在活動(dòng)中自主選擇問題進(jìn)行探究，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。網(wǎng)絡(luò)虛擬現(xiàn)實(shí)與虛擬的交往為研究性學(xué)習(xí)提供了一個(gè)豐富的信息世界，它匯集人工智能、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等多項(xiàng)技術(shù)，通過(guò)多媒體技術(shù)與仿真技術(shù)相結(jié)合完成視、聽、觸覺一體化的虛擬環(huán)境，學(xué)習(xí)指導(dǎo)中把數(shù)學(xué)分析問題融合于具體的情境中，學(xué)生以自然方式與虛擬環(huán)境中的客體進(jìn)行交流，從而給學(xué)生以逼真的感受與體驗(yàn)。
3．網(wǎng)絡(luò)為數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)提供了交流平臺(tái)
研究性學(xué)習(xí)的過(guò)程正是一個(gè)溝通與協(xié)作的過(guò)程。網(wǎng)絡(luò)正好為研究性學(xué)習(xí)提供了一個(gè)交流的空間。
4．網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)有利于辯證思維和橫縱思維的培養(yǎng)
橫縱思維包括“橫向搜索”和“縱向搜索”兩方面。橫向搜索用于解決“橫向復(fù)雜性”，縱向搜索用于解決“縱向復(fù)雜性”。辯證思維從哲學(xué)上為解決高難度復(fù)雜問題提供指導(dǎo)策略，橫縱思維則從心理學(xué)角度為解決復(fù)雜問題提供具體的操作策略。網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)使得學(xué)生與學(xué)生之間、學(xué)生與教師之間、學(xué)生與相關(guān)專業(yè)人員之間進(jìn)行交流，互相從問題的不同側(cè)面進(jìn)行辯論與探討，可以使學(xué)生進(jìn)行充分的研究、探索事物的來(lái)龍去脈，更加全面認(rèn)識(shí)問題。網(wǎng)絡(luò)環(huán)境為學(xué)生與學(xué)生之間、學(xué)生與教師之間、學(xué)生與其他社會(huì)力量的溝通協(xié)作提供了平臺(tái)，通過(guò)對(duì)問題多方面的探究，可以使學(xué)生進(jìn)行充分的調(diào)查研究，探索事物的來(lái)龍去脈，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維和橫縱思維。
5．網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)有利于發(fā)散思維的培養(yǎng)
發(fā)散思維又叫求異思維、逆向思維或多向思維，它強(qiáng)調(diào)思維內(nèi)容和思維成果應(yīng)與傳統(tǒng)觀念或原有概念不同，甚至相反，其思維事先不能確定，可以是一個(gè)，也可以是多個(gè)。它是指人們沿著不同方面思考，得出大量不同或相同結(jié)論的思維。發(fā)散思維在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)上具有十分重要的作用。要想學(xué)到更多的知識(shí)，就必須強(qiáng)調(diào)發(fā)散思維，沒有發(fā)散思維，就沒有任何創(chuàng)造性的萌芽和創(chuàng)造性的成果?？梢哉f(shuō)，一切創(chuàng)造都起源于發(fā)散思維，數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中若沒有發(fā)散思維，則容易造成學(xué)生對(duì)書本對(duì)教師對(duì)權(quán)威的迷信，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)停留在書本上，不敢提出半點(diǎn)懷疑，而沒有疑問，是學(xué)不好數(shù)學(xué)分析的。網(wǎng)絡(luò)上有大量的豐富的數(shù)學(xué)分析教學(xué)資源，這為網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的研究性學(xué)習(xí)提供了極為有利的條件。在教學(xué)中，不少同學(xué)在網(wǎng)上與網(wǎng)友討論學(xué)習(xí)問題，有的利用網(wǎng)絡(luò)搜索，從網(wǎng)上下載了各類教學(xué)課件，這些課件均為各數(shù)學(xué)分析教學(xué)利用，各具特色，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了全方位、多角度的支持，擴(kuò)大了學(xué)生的視野，使他們不再局限于書本的知識(shí)，有利于發(fā)散思維的培養(yǎng)和創(chuàng)新思維的產(chǎn)生。
二、網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)的實(shí)施
由于數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)的目標(biāo)是使學(xué)生獲得親身參與研究性探索的體驗(yàn)，學(xué)會(huì)分享與合作，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生收集、分析和利用信息的能力，培養(yǎng)科學(xué)研究的興趣、態(tài)度和社會(huì)使命感，它是一種基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)類型，強(qiáng)調(diào)尊重不同的觀點(diǎn)和交流協(xié)作，因此筆者在實(shí)踐教學(xué)中把它的教學(xué)程序劃分為五步，即問題產(chǎn)生、立題、展開研究、分析討論、得出結(jié)論。其中需要注意的是，每一個(gè)步驟都是由教師和學(xué)生共同參與完成的，必要時(shí)問題可以由教師先給出，再由師生共同討論后確定：每一個(gè)步驟都會(huì)產(chǎn)生形成性評(píng)價(jià)信息；每一個(gè)步驟的完成時(shí)間并沒有嚴(yán)格的限制，可以根據(jù)課時(shí)安排適當(dāng)調(diào)整；在討論分析中，可能會(huì)產(chǎn)生新的問題，或需要更充分的信息支持，因此學(xué)習(xí)可能要轉(zhuǎn)到新的分析研究中。
1．選題是數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)教學(xué)的關(guān)鍵
選題是數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)教學(xué)成功與否的關(guān)鍵所在，題目不僅要是“可能”、“力所能及”，更重要的是對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展有幫助，亦即通過(guò)數(shù)學(xué)分析教學(xué)研究性學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)，并將所獲得的知識(shí)技能運(yùn)用于數(shù)學(xué)分析教學(xué)學(xué)習(xí)，切不可將“研究性學(xué)習(xí)”簡(jiǎn)單理解為在教室里用所學(xué)的“數(shù)學(xué)知識(shí)”解決幾道“應(yīng)用題”。
數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)的課題，可以根據(jù)學(xué)校的實(shí)際情況和學(xué)生的專業(yè)領(lǐng)域來(lái)選取，筆者在教學(xué)中采用“大課題”和“專題”相結(jié)合的形式進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的研究性的教學(xué)，效果較為明顯。大課題每學(xué)期安排1～2個(gè)為宜，主要以小組的形式進(jìn)行，課題在學(xué)習(xí)生活、日常生活與社會(huì)生活的交匯點(diǎn)產(chǎn)生，如煮粥中的積分。而專題是指在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，每一單元或每一階段都確定一個(gè)研究題目，如產(chǎn)品利潤(rùn)中的極限問題、單位時(shí)間內(nèi)血流量問題、轉(zhuǎn)售機(jī)飛機(jī)俯沖時(shí)機(jī)翼影響的速度問題、飛機(jī)降落曲線問題等。為增強(qiáng)學(xué)生的參與積極性，可以將課題的研究作為期末成績(jī)的一部分，讓研究性學(xué)習(xí)中所獲得的直接經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)分析課程所獲得的間接經(jīng)驗(yàn)交互作用，相輔相成，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的積極性，有利于研究性學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用功能的發(fā)揮。
2．研究的過(guò)程是整個(gè)研究性學(xué)習(xí)課程實(shí)施的重點(diǎn)
在研究性學(xué)習(xí)實(shí)施過(guò)程中，一方面，要給學(xué)生保留足夠的時(shí)間和空間，另一方面，教師要及時(shí)了解學(xué)生開展研究活動(dòng)時(shí)遇到的困難以及他們的需要，有針對(duì)性地進(jìn)行指導(dǎo)，成為學(xué)生研究信息交匯的樞紐，成為交流的組織者和引導(dǎo)者，給學(xué)生適時(shí)的鼓勵(lì)和指導(dǎo)，幫助他們建立自信心并進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)積極性。因此在數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)教學(xué)管理上，要做到外松內(nèi)緊，督促、指導(dǎo)每位同學(xué)填寫好每一次活動(dòng)情況記錄、活動(dòng)體會(huì)等，每項(xiàng)工作落實(shí)到位，使學(xué)生更深刻的體會(huì)、理解開展研究性學(xué)習(xí)的意義，積極主動(dòng)地參與研究，在研究過(guò)程中提高自身的綜合素質(zhì)。
3．采用有效的評(píng)價(jià)策略是數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)順利進(jìn)行的保障
在研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)策略方面，除了注重學(xué)生的自我評(píng)價(jià)、注重合作的作用外，還應(yīng)該將數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)整合進(jìn)數(shù)學(xué)分析的課堂教學(xué)之中。研究性學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)更加注重學(xué)習(xí)過(guò)程，而不僅僅是結(jié)果，整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生處于一種積極、活躍、興奮的狀態(tài)，從選題到制定研究計(jì)劃，再到收集資料，最后到結(jié)果的呈現(xiàn)，無(wú)不滲透著他們的辛勤勞動(dòng)和積極的思考，由此豐富了學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生獲取知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)能力的提高，可見，評(píng)價(jià)應(yīng)該圍繞學(xué)生是否將研究性學(xué)習(xí)中所獲得的獲取知識(shí)的技能方法運(yùn)用于數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中如何提問、如何收集信息、如何做出假設(shè)和解決問題，也就是數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)與數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)進(jìn)行整合。
數(shù)學(xué)分析研究性學(xué)習(xí)作為一種教學(xué)改革的嘗試，既為學(xué)生提供了更廣的學(xué)習(xí)空間和更加靈活的學(xué)習(xí)形式，又能使學(xué)生的能力、情感、態(tài)度、學(xué)習(xí)方法等方面的素質(zhì)得到發(fā)展。學(xué)生經(jīng)過(guò)收集、處理和加工信息資料，綜合運(yùn)用理論和實(shí)踐知識(shí)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)得到鞏固，學(xué)科素質(zhì)和實(shí)踐能力得到提高，同時(shí)，增強(qiáng)了自我學(xué)習(xí)的意識(shí)。在課題研究的過(guò)程中，學(xué)生的個(gè)人興趣、愛好和特長(zhǎng)的發(fā)揮，激活了學(xué)生的創(chuàng)造潛能和學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)研究的志趣、態(tài)度和團(tuán)隊(duì)合作精神。
摘要：本文主要分析地方院校小學(xué)教育（數(shù)學(xué)方向）本科專業(yè)數(shù)學(xué)分析教學(xué)中存在的問題，基于專業(yè)的“師范性”與“應(yīng)用性”及自身的教學(xué)體會(huì)，提出教學(xué)改革的幾點(diǎn)建議：教師要更新教學(xué)理念，根據(jù)專業(yè)科學(xué)制定課程教學(xué)大綱，注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本課程的價(jià)值認(rèn)識(shí)和學(xué)法指導(dǎo)，確定教師講授與學(xué)生自主探究相結(jié)合的教學(xué)方法。
關(guān)鍵詞：地方院校;小學(xué)教育專業(yè);數(shù)學(xué)分析;教學(xué)改革
一、引言
數(shù)學(xué)分析[1]是小學(xué)教育（數(shù)學(xué)方向）本科專業(yè)（以下簡(jiǎn)稱“小教數(shù)學(xué)專業(yè)”）的一門重要基礎(chǔ)課，具有“邏輯推理性強(qiáng)，抽象性高，應(yīng)用性廣”的特點(diǎn)。學(xué)習(xí)本課程，有利于提高學(xué)生的邏輯推理、抽象思維和運(yùn)算能力，是他們學(xué)習(xí)各門數(shù)學(xué)課程的重要前提。因此，如何搞好數(shù)學(xué)分析教學(xué)，是任課教師長(zhǎng)期探究的課題[2-4]。但有關(guān)地方院校小教數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)改革的研究，鮮見被報(bào)道[5，6]。因此，在培養(yǎng)應(yīng)用型高級(jí)人才的背景下，探究地方院校小教數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革，是一項(xiàng)迫切而重要的任務(wù)。本文主要分析當(dāng)前地方院校小教數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析教學(xué)中存在的一些問題，基于專業(yè)的“師范性”與“應(yīng)用性”及個(gè)人的教學(xué)體會(huì)，提出教學(xué)改革的幾點(diǎn)建議，以期與同行探討。
二、地方院校小教數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析教學(xué)中存在的問題及原因分析
（一）存在的主要問題
教學(xué)實(shí)踐中，通過(guò)訪談、調(diào)查和考試質(zhì)量分析等多種渠道，發(fā)現(xiàn)當(dāng)前本專業(yè)數(shù)學(xué)分析教學(xué)中存在三個(gè)方面的問題：一是學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)本課程的難度大，內(nèi)容多學(xué)時(shí)少，每次課的學(xué)習(xí)內(nèi)容量大且抽象難懂，學(xué)習(xí)任務(wù)重，心理壓力大，信心不足，有畏難心理。二是學(xué)生學(xué)習(xí)方法不當(dāng)，仍然局限于中學(xué)時(shí)的學(xué)習(xí)方法，過(guò)于依賴教師，偏重于既有結(jié)論和公式基礎(chǔ)上的簡(jiǎn)單計(jì)算或論證，對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法重視不夠，缺乏數(shù)學(xué)證明中常用的化歸思想，學(xué)習(xí)效率低。三是學(xué)生對(duì)本課程的價(jià)值和重要性認(rèn)識(shí)不足，缺乏學(xué)習(xí)的內(nèi)部動(dòng)力，缺乏學(xué)習(xí)興趣。
（二）主要原因分析
1.教師因素。（1）教師教學(xué)理念陳舊。教學(xué)中，仍然以教師為中心，忽視學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的主體地位，在培養(yǎng)應(yīng)用型人才的背景下，學(xué)生是教學(xué)活動(dòng)的主體，教師是教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)者，是學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的引導(dǎo)者和組織者。（2）教師教學(xué)忽視專業(yè)特點(diǎn)，沒有能夠真正做到“因材施教”。主要表現(xiàn)為兩個(gè)方面：一是教學(xué)中把小教數(shù)學(xué)專業(yè)等同于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，教學(xué)要求高，難度大，結(jié)果達(dá)不到既定教學(xué)目標(biāo);二是把本專業(yè)數(shù)學(xué)分析教學(xué)等同于大學(xué)文科高等數(shù)學(xué)教學(xué)，降低教學(xué)要求，不符合小教數(shù)學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)要求。（3）教學(xué)方法和手段單一。在教學(xué)方法上，受傳統(tǒng)教學(xué)方式的影響，教師教學(xué)仍以講授法為主，課堂上學(xué)生參與度較低。教學(xué)中，重理論知識(shí)講授，輕數(shù)學(xué)思想和方法的傳授與訓(xùn)練;重教師的主觀想法，輕學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)安排;重具體的習(xí)題講解，輕引導(dǎo)學(xué)生查閱資料和學(xué)法指導(dǎo)。在教學(xué)手段上，仍然局限于“粉筆+黑板”，不能借助多媒體輔助和豐富教學(xué)，從而促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高。
2.學(xué)生因素。（1）學(xué)生主觀上存在不足。相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生，在主觀上對(duì)數(shù)學(xué)分析課程的重要性認(rèn)識(shí)不足，不重視數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)。以筆者所任教的班級(jí)為例，調(diào)查結(jié)果表明，本專業(yè)近50%的學(xué)生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)分析課程太難，過(guò)于抽象，和生活沒有直接聯(lián)系，對(duì)今后從事小學(xué)教育教學(xué)工作沒有直接的促進(jìn)作用和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值?！辈幌胝J(rèn)真學(xué)習(xí)本課程。他們普遍認(rèn)為，值得學(xué)習(xí)的主要課程有小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)技能訓(xùn)練、三字一話、簡(jiǎn)筆畫、音樂、美術(shù)和舞蹈等，因?yàn)檫@些課程與小學(xué)教學(xué)工作有直接的聯(lián)系。（2）學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不高。隨著我國(guó)高等教育規(guī)模的不斷擴(kuò)大，地方院校尤其是新建本科院校的生源質(zhì)量下滑是不爭(zhēng)的事實(shí)。
首先，本專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱。例如，多數(shù)學(xué)生沒有學(xué)習(xí)和掌握反三角函數(shù)、三角函數(shù)的積化和差公式與極坐標(biāo)方程等與數(shù)學(xué)分析中的微積分學(xué)有直接聯(lián)系的內(nèi)容，在實(shí)際教學(xué)中，許多教師想當(dāng)然地認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)掌握了這些知識(shí)，導(dǎo)致學(xué)生在課堂上難以理解教師所講授的內(nèi)容，課外自主學(xué)習(xí)效率不高，影響教學(xué)質(zhì)量。其次，多數(shù)學(xué)生沒有養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，沒有掌握正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，主要表現(xiàn)為：沒有養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣，沒有養(yǎng)成克服困難、專心思考的習(xí)慣，沒有養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)和與教師、同學(xué)相互討論的習(xí)慣，沒有養(yǎng)成向教師提問和敢于質(zhì)疑的習(xí)慣，沒有養(yǎng)成課前預(yù)習(xí)和課后總結(jié)復(fù)習(xí)的習(xí)慣，沒有養(yǎng)成查閱資料的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
三、小教數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析教學(xué)的改革建議
在培養(yǎng)應(yīng)用型人才的背景下，基于小教數(shù)學(xué)專業(yè)的“師范性”和“應(yīng)用性”及筆者的教學(xué)體會(huì)，數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革應(yīng)注意以下方面。
1.教師要更新教學(xué)理念。教師必須具備正確的教學(xué)觀和學(xué)生觀，充分認(rèn)識(shí)到教學(xué)過(guò)程既是課程傳遞和執(zhí)行的過(guò)程，又是課程創(chuàng)生和開發(fā)的過(guò)程;教學(xué)是師生交往、積極互動(dòng)和共同發(fā)展的過(guò)程，既重結(jié)論又重過(guò)程;清楚地認(rèn)識(shí)到學(xué)生是發(fā)展的人，是獨(dú)特的個(gè)體，是具有獨(dú)立意義的人，在教學(xué)中必須建立良好的師生關(guān)系;教學(xué)中，既要關(guān)注學(xué)科，更要關(guān)注學(xué)生，在行為上應(yīng)表現(xiàn)為尊重、欣賞、幫助和引導(dǎo)學(xué)生。
2.根據(jù)專業(yè)實(shí)際，科學(xué)制定教學(xué)大綱。教學(xué)大綱是課程教學(xué)實(shí)施的重要依據(jù)，制定數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)大綱，總體上應(yīng)從“了解、理解、掌握和綜合運(yùn)用”四個(gè)層面去規(guī)范課程要達(dá)到的目標(biāo);從“經(jīng)歷、體驗(yàn)和探索”三個(gè)層面，指導(dǎo)各章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程，以促進(jìn)學(xué)生掌握“四基”為授課具體目標(biāo)，即要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)分析課程的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)分析思想和基本高等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。例如，對(duì)“定積分的應(yīng)用”一節(jié)的教學(xué)要求，可表述為：使學(xué)生在進(jìn)一步理解定積分幾何意義的基礎(chǔ)上，熟練應(yīng)用定積分求相關(guān)平面圖形的面積、曲線的弧長(zhǎng)等幾何問題，經(jīng)歷微元法的探究過(guò)程，掌握并熟練應(yīng)用微元法求液體的靜壓力、引力和平均功率等物理問題;深刻體會(huì)定積分的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的熱情和學(xué)科情感。
3.確定教師講授與學(xué)生自主探究相結(jié)合的教學(xué)方法。和所有學(xué)科教學(xué)一樣，小教數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)方法的選擇，必須遵循“因材施教”這一亙古不變的原則。綜合考慮本課程“邏輯推理性強(qiáng)，抽象性高，應(yīng)用性廣”的特點(diǎn)和地方院校小教數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、學(xué)習(xí)習(xí)慣不好”的實(shí)際，及遵循“教學(xué)中發(fā)揮教師主導(dǎo)作用和以學(xué)生為主體”的教學(xué)要求，教學(xué)中應(yīng)確教師講授與學(xué)生自主探究相結(jié)合的教學(xué)方法。在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，把握好教師講授和學(xué)生自主探究的時(shí)間比例。例如，對(duì)函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性等理論性強(qiáng)且抽象而復(fù)雜的內(nèi)容，教師的講授可多些，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探究的內(nèi)容所占比例要少些;對(duì)定積分的概念、基本性質(zhì)及應(yīng)用等內(nèi)容，教師要減少講授時(shí)間，增加啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主探究的時(shí)間。值得注意的是，教學(xué)中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的傳授。
4.注重引導(dǎo)學(xué)生真正認(rèn)識(shí)本課程的重要價(jià)值，重視學(xué)法指導(dǎo)。當(dāng)學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)分析課程的重要理論價(jià)值時(shí)，學(xué)習(xí)積極性將會(huì)大大提高，有利于課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。常言道：“良好的開始是成功的一半?！币虼?，教師要用緒論課引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)本課程的重要理論價(jià)值。在緒論課上，需要完成四個(gè)方面的任務(wù)：一是通過(guò)數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)分析的理論價(jià)值和應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性。例如，可以拋出“曲邊梯形的面積怎么算？”“sin31°的近似值怎么求？”及“e0.1=？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生思考和討論，然后由教師說(shuō)明數(shù)學(xué)分析課程是解決此類實(shí)際問題的科學(xué)，學(xué)生自然會(huì)從內(nèi)心深處真正感受到這一學(xué)科的重要價(jià)值，自覺端正學(xué)習(xí)態(tài)度。二是通過(guò)幽默風(fēng)趣的語(yǔ)言與學(xué)生交流，內(nèi)心真正尊重和欣賞學(xué)生，使他們感受到教師就是他們的“良師益友”，創(chuàng)建良好的師生關(guān)系，為今后的課堂教學(xué)奠定良好的師生關(guān)系基礎(chǔ)。三是對(duì)本課程內(nèi)容向?qū)W生做一個(gè)總體介紹，使他們有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)習(xí)起到提綱挈領(lǐng)的作用。四是介紹數(shù)學(xué)分析課堂的基本特點(diǎn)、本課程的作業(yè)及考核要求及學(xué)生學(xué)習(xí)課程的基本方法，強(qiáng)調(diào)自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的重要性。例如，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)習(xí)，注重計(jì)算的同時(shí)更注重理論分析和邏輯推理及思想方法的掌握，要做到：課前認(rèn)真預(yù)習(xí)，課上認(rèn)真聽課，課后對(duì)所學(xué)知識(shí)反復(fù)揣摩和自主探究，同時(shí)要養(yǎng)成與教師、學(xué)生討論和查閱資料的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。
四、結(jié)語(yǔ)
本文主要分析地方院校小教數(shù)學(xué)本科專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中存在的問題及原因，提出進(jìn)行數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)改革的幾點(diǎn)建議。教學(xué)實(shí)踐表明，以上提出的教學(xué)改革措施是有效的。但在實(shí)際教學(xué)中，要全面提高教學(xué)質(zhì)量，有許多具體問題需要討論和解決，如編寫小學(xué)教育專業(yè)數(shù)學(xué)分析教材就是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作。
摘要：《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)應(yīng)打破傳統(tǒng)教學(xué)模式，積極開展自主、合作和探究式教學(xué).微分概念探究教學(xué)應(yīng)從概念的形成、概念的理解與鞏固、學(xué)生認(rèn)知水平三個(gè)角度開展.通過(guò)實(shí)踐分析和總結(jié)得到：數(shù)學(xué)分析課程探究式課堂教學(xué)要重視良好課堂氛圍的營(yíng)造，探究活動(dòng)核心環(huán)節(jié)的掌控以及學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展三個(gè)環(huán)節(jié)，循序漸進(jìn)地開展科學(xué)合理有效的課堂探究教學(xué)活動(dòng).
關(guān)鍵詞：微分；探究教學(xué)；情境問題
一、引言
目前，很多從事高校數(shù)學(xué)課程教學(xué)的教育工作者，仍然采用教師教，學(xué)生學(xué)；教師講，學(xué)生聽的傳統(tǒng)教學(xué)模式，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，學(xué)習(xí)興趣逐漸喪失，因此，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式不利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和創(chuàng)造性思維能力.2015年國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于深化高等學(xué)校創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育改革的實(shí)施意見中指出：“高校課程教學(xué)和考核方式要開展啟發(fā)式、討論式、參與式教學(xué)，……，注重考查學(xué)生分析、解決問題的能力.”針對(duì)這一要求，高校數(shù)學(xué)教師應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)課程自身特點(diǎn)積極開展探究式教學(xué)改革.近年來(lái)，有關(guān)數(shù)學(xué)探究教學(xué)的研究主要集中在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域[1-4]，然而高校數(shù)學(xué)探究教學(xué)的研究比較少，針對(duì)這一現(xiàn)狀，本文以高師《數(shù)學(xué)分析》課程中微分概念探究教學(xué)為例，提出《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)應(yīng)積極開展自主、合作、探究的有效教學(xué)模式，為學(xué)生提供更多主動(dòng)參與、合作交流、探究發(fā)現(xiàn)的教學(xué)活動(dòng)，從而促進(jìn)學(xué)生主體學(xué)習(xí)意識(shí)和能力的培養(yǎng).
二、微分概念的教學(xué)探究實(shí)踐與分析
Klausmeier指出概念是簡(jiǎn)化世界的類目，是將一系列物體、事件和思想進(jìn)行分類的心智結(jié)構(gòu).概念是重要的，概念反應(yīng)思想，但概念并不出思想，不是通過(guò)概念的變換產(chǎn)生思想的，相反，思想產(chǎn)生概念.[5]事實(shí)上，人類社會(huì)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)概念都是在人類社會(huì)歷史發(fā)展的過(guò)程中，隨著勞動(dòng)實(shí)踐和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的積累，在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上形成的.[6]因此，教師在微分概念教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)從微分概念知識(shí)起源中尋找切入點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，創(chuàng)設(shè)合理情景，引導(dǎo)學(xué)生從具體事例抽象出微分的實(shí)質(zhì)，自主構(gòu)建微分概念，并感悟概念形成中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，逐步培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)概括能力.
1.注重學(xué)生從具體到抽象的思維能力的培養(yǎng)，體會(huì)概念形成過(guò)程.微分概念比較抽象，若教師直接引入，學(xué)生很難理解與接受，故可以結(jié)合微分在實(shí)際的生產(chǎn)生活領(lǐng)域中的應(yīng)用來(lái)引入微分概念.在實(shí)際生活中，往往需要根據(jù)測(cè)量值來(lái)近似計(jì)算某些物理量，故教師可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)情境引入課題.
教學(xué)片段1：教師拿出三個(gè)正方形紙板如下圖1所示，展示三個(gè)正方形紙板的面積的變化情況，并提出如下問題：
問題一：觀察三個(gè)圖形中面積增量主要取決于哪一部分？
問題二：思考當(dāng)邊長(zhǎng)增量Δx0時(shí)，ΔS，200Δx，（Δx）三者存在著怎樣的關(guān)系？
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)態(tài)圖形演示，創(chuàng)造教學(xué)情景，引導(dǎo)學(xué)生觀察面積的變化規(guī)律，形成感官上的一種具體認(rèn)知和判斷.然后通過(guò)設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生朝著預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)方向進(jìn)行思考，并檢測(cè)不同層次的學(xué)生對(duì)問題的分析理解能力.
學(xué)生在討論后給出答案：當(dāng)邊長(zhǎng)增量Δx0，故有
顯然，學(xué)生能夠利用已學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念來(lái)分析問題，但是對(duì)問題的理解缺乏方向性，沒有刻畫ΔS，200Δx，（Δx）三者關(guān)系，此時(shí)教師可以做進(jìn)一步補(bǔ)充：
說(shuō)明邊長(zhǎng)增量越來(lái)越小時(shí)，面積增量的實(shí)際值主要決定于兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積.再借助高階無(wú)窮小量可知
ΔS=200?Δx+ο（Δx）
從而使得微分概念的雛形自然而現(xiàn).進(jìn)而針對(duì)一般函數(shù)f（x），給出微分的一般定義形式
其中ο（Δx）是Δx的高階無(wú)窮小量.
教學(xué)分析：好的教學(xué)情境的引入，往往能營(yíng)造良好的教學(xué)氛圍，提升學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的積極性和主動(dòng)性.但是在這樣的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的初步認(rèn)知往往是具體的，并且是不完整的，甚至是錯(cuò)誤的，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多思考如下問題：我的理解方式與已有的概念是否存在聯(lián)系？解決問題的關(guān)鍵在哪里？結(jié)論是否具有推廣性？若不能推廣，是否可通過(guò)修改條件實(shí)現(xiàn)結(jié)論的推廣？等等.學(xué)生在反思過(guò)程中，會(huì)對(duì)已有的認(rèn)知和理解進(jìn)行深入思考，從而使得自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的體驗(yàn)不斷得以釋放，思維能力不斷提升，并逐步達(dá)到抽象思維的認(rèn)知水平.
2.注重學(xué)生對(duì)概念深化理解，通過(guò)變練演編等方式鞏固概念.王光明博士認(rèn)為：理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，“懂而不會(huì)的”現(xiàn)象說(shuō)明學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)并未達(dá)到真正的理解[7].因此，當(dāng)微分概念給出后，并不代表著學(xué)生能準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)和理解概念，它需要教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從不同的側(cè)面和角度去挖掘概念，解釋概念，深化學(xué)生對(duì)概念的理解.
教學(xué)分析：本題的解題過(guò)程充分展現(xiàn)用定義法驗(yàn)證函數(shù)在某點(diǎn)可微需要一定的技巧和方法，并非易事.因此，教師在對(duì)微分概念講解時(shí)要循序漸進(jìn)，對(duì)問題的探究思路和角度要多元化，對(duì)教材例題要進(jìn)行剖析和演編，同時(shí)還要給學(xué)生一些與例題類似或演編的題目進(jìn)行訓(xùn)練，這樣可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)微分概念的理解.
3.在概念教學(xué)中逐步提升學(xué)生的認(rèn)知水平，幫助學(xué)生建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).教師對(duì)例題進(jìn)行總結(jié)和歸納是加深學(xué)生對(duì)概念理解的一種有效方法，同時(shí)也是促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題或新規(guī)律的一個(gè)有效途徑.著名教育家波利亞在其著作《數(shù)學(xué)與猜想》中寫道：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程是與任何其他知識(shí)的創(chuàng)造一樣的.在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測(cè)這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全做出詳細(xì)證明之前，你先得推測(cè)證明的思路.”[8]所以在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已有結(jié)論進(jìn)行反思、歸納和論證，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平逐步提高，并在原有的認(rèn)知水平上建立起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).
教學(xué)片段3：教師請(qǐng)學(xué)生觀察分析上述例題中給出的微分表達(dá)式的特征有哪些，并猜想在具備同樣條件下的一般函數(shù)f（x）是否也有類似結(jié)論成立，若成立嘗試證明你的結(jié)論.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力，合情推理和歸納證明的能力等，通過(guò)對(duì)這些能力的培養(yǎng)，不斷提升學(xué)生的認(rèn)知水平，幫助學(xué)生建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).
學(xué)生通過(guò)相互討論給出答案：（1）微分都是一個(gè)常數(shù)與自變量增量的乘積的結(jié)構(gòu)模型；（2）算例表明常數(shù)恰巧是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值；（3）由導(dǎo)數(shù)定義形式可推知
-f′（x）=ο（1）？圯Δy=f′（x）Δx+ο（Δx），
表明函數(shù)f（x）在點(diǎn)x可導(dǎo)一定可以推出f（x）在點(diǎn)x=x可微.
在了解學(xué)生的認(rèn)知情況后，教師可以對(duì)學(xué)生給出的答案做進(jìn)一步補(bǔ)充說(shuō)明：一元函數(shù)可導(dǎo)一定可微，反之，可微也一定可導(dǎo)，證明如下
顯然根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知A=f′（x）.至此，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)上述討論內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，同時(shí)也找到了判斷函數(shù)在某點(diǎn)是否可微的另外一種重要方法，此方法比微分定義法更容易證明.
教學(xué)分析：在課堂教學(xué)中，教師通過(guò)精心設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行演練、搜集數(shù)據(jù)和觀察對(duì)比分析，并借助已有的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行大膽猜想，提出假說(shuō)，進(jìn)而論證假設(shè)的真?zhèn)涡?在這一過(guò)程中，既發(fā)揮了教師在教學(xué)中主導(dǎo)作用，又體現(xiàn)了學(xué)生是課堂教學(xué)的主體.師生通過(guò)合作學(xué)習(xí)，共同探究，不僅增近了師生之間的情感交流，同時(shí)也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升了自身的認(rèn)知水平，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)創(chuàng)造的艱辛歷程，并積累了豐富的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
三、數(shù)學(xué)分析課程探究教學(xué)的反思與建議
1.創(chuàng)設(shè)合理有效的問題情境，為學(xué)生營(yíng)造良好的數(shù)學(xué)思維氛圍.合理有效地創(chuàng)設(shè)問題情境，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，讓學(xué)生在解決問題的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考，因此，數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)應(yīng)盡可能開展“情景―問題”探究式教學(xué)活動(dòng)，教師通過(guò)設(shè)置一些能夠與學(xué)生認(rèn)知產(chǎn)生沖突的情境問題，將學(xué)生置身于探究未知問題的氣氛中，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，從而形成學(xué)生積極思考的良好課堂氛圍.
2.開展探究教學(xué)活動(dòng)要以教材為核心，做到循序漸進(jìn)，問題解決方案多元化.數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)由于學(xué)習(xí)內(nèi)容比較抽象，學(xué)時(shí)又有限，所以在開展探究式教學(xué)活動(dòng)中，教師要以教材為核心，重點(diǎn)突出基本概念與定理，并且教學(xué)過(guò)程中所設(shè)置的問題要適中，難度有層次性，能夠形成問題鏈.問題提出循序漸進(jìn)，能夠體現(xiàn)思維水平由低到高的發(fā)展過(guò)程，此外，探究問題的解決方案盡可能多元化，學(xué)生在思考問題時(shí)可以從多角度、多方向、多途徑尋找切入點(diǎn)，提出多種新穎的見解，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng).
3.引導(dǎo)學(xué)生多回顧與反思，形成新的認(rèn)知水平.回顧與反思有利于學(xué)生養(yǎng)成“回到概念去”思考和解決問題的習(xí)慣，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題及其解答的來(lái)龍去脈，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，方法和理論之間的廣泛聯(lián)系，有利于發(fā)現(xiàn)許多相關(guān)結(jié)果中的交匯點(diǎn).[9]因此，教師在教學(xué)過(guò)程中，要多鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行反思，多聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，通過(guò)反思與總結(jié)去改編，引申或者推廣已有的問題和結(jié)論，進(jìn)而產(chǎn)生新的問題，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).
摘 要：數(shù)學(xué)分析課程是數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課，該課程具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和科學(xué)的系統(tǒng)性，從而使得大部分大一新生在學(xué)習(xí)該課程時(shí)遇到較大的困難，導(dǎo)致難以達(dá)到很好的學(xué)習(xí)效果繼而影響后繼課程的學(xué)習(xí)。為更好地提高教育教學(xué)質(zhì)量，實(shí)踐以學(xué)生為主體的辦學(xué)理念，選擇一套適合該院學(xué)生的該課程教材是教學(xué)改革的重要環(huán)節(jié)之一。通過(guò)引入層次分析法，計(jì)算出數(shù)學(xué)分析教材選擇中的指標(biāo)權(quán)重，從而得到更合理、更科學(xué)的數(shù)學(xué)分析教材選擇模型。
關(guān)鍵詞：教材選擇 層次分析法 指標(biāo)體系
當(dāng)前地方院校使用較廣泛的數(shù)學(xué)分析教材有：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》，劉玉璉、傅沛仁編《數(shù)學(xué)分析》，王綿森、馬知恩編《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》，鄧東皋、尹小玲編《數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程》等。教材的評(píng)價(jià)是一項(xiàng)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，涉及的因素較多，需要組織師生對(duì)教材的評(píng)價(jià)，還要考慮評(píng)價(jià)的公正、公平、客觀、有效性原則以及評(píng)價(jià)的成本和效應(yīng)等。利用層次分析法可以科學(xué)合理地選擇應(yīng)用型本科院校數(shù)學(xué)類專業(yè)的數(shù)學(xué)分析教材。
1 方法步驟
1.1 層次分析法
層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)記AHP）是由T.L.Saaty等人在20世紀(jì)70年代提出的一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。該方法自提出之后，由于它在處理復(fù)雜的決策問題上的適應(yīng)性和有效性已經(jīng)在眾多領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用。
1.2 建立層次結(jié)構(gòu)模型
根據(jù)應(yīng)用型地方本科院校培養(yǎng)人才目標(biāo)及數(shù)學(xué)分析教材選擇時(shí)涉及到的因素進(jìn)行充分分析，建立層次結(jié)構(gòu)如圖1所示。
第一層：目標(biāo)層A，表示系統(tǒng)要達(dá)到的目標(biāo)“最佳教材A”。
第二層：主準(zhǔn)則層B，衡量達(dá)到目標(biāo)的各項(xiàng)準(zhǔn)則，包括知識(shí)體系B1、學(xué)生心理B2、質(zhì)量體系B3。
第三層：子準(zhǔn)則層C，是衡量達(dá)到主準(zhǔn)則層的各項(xiàng)子準(zhǔn)則，包括數(shù)學(xué)分析知識(shí)介紹C1、結(jié)構(gòu)安排情況C2、難易程度C3、符合認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律C4、學(xué)習(xí)興趣C5、學(xué)習(xí)主動(dòng)性C6、印刷水平C7、教材價(jià)格C8、讀者服務(wù)C9。
第四層：方案層D，是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可能采取的各種方案。對(duì)眾多的數(shù)學(xué)分析教材進(jìn)行篩選后選定了3套教材，即華東師大編寫數(shù)學(xué)分析D1；劉玉蓮、傅沛仁編數(shù)學(xué)分析D2；王綿森、馬知恩編數(shù)學(xué)分析D3。
1.3 構(gòu)造成對(duì)比較陣及計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)
從層次結(jié)構(gòu)模型的第二層開始，對(duì)于從屬于（或影響及）上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和1～9比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較陣，直到最下層。由此得到主準(zhǔn)則層B對(duì)目標(biāo)層A的判斷矩陣，利用Matlab軟件對(duì)求出最大特征值。對(duì)做一致性檢驗(yàn)，指標(biāo)為，其中為判斷矩陣的階數(shù)。檢驗(yàn)系數(shù)為，表明矩陣具有滿意的一致性。其中為平均一致性指標(biāo)，當(dāng)時(shí)，。同時(shí)可求得的對(duì)應(yīng)于的單位特征向量為。
2 結(jié)語(yǔ)
從層次分析模型可知，最佳教材選擇應(yīng)為D1，即華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析（第四版）》。D2所占比例與D1所占比例較接近，這也說(shuō)明在實(shí)際工作中這兩部教材被眾多普通高校所選擇使用的主要原因。應(yīng)用層次分析法對(duì)數(shù)學(xué)分析教材進(jìn)行選擇，能夠很好地反映教材的實(shí)際情況，具有一定的合理性，避免了憑感覺選擇教材的局限性，從而能夠更好地為教學(xué)工作提供支持。但是用此方法在構(gòu)造判斷矩陣時(shí)任具有一定的主觀性，各項(xiàng)指標(biāo)權(quán)重及測(cè)評(píng)指標(biāo)的內(nèi)涵的確定仍有待進(jìn)一步的研究與探索。
摘 要：縱觀世界，地鐵由于建設(shè)投資大，運(yùn)營(yíng)成本高，多屬公益性，一般都處于虧損狀態(tài)，具有建成后不易更改的特性。但同時(shí)地鐵運(yùn)營(yíng)所帶來(lái)的時(shí)間效益、勞動(dòng)效益、安全效益、投資效益、節(jié)約效益等直接效益及帶動(dòng)周邊建筑業(yè)、服務(wù)業(yè)發(fā)展及改善居民生活質(zhì)量等間接經(jīng)濟(jì)效益是巨大的。本文在充分調(diào)查青島公共交通狀況及經(jīng)濟(jì)發(fā)展現(xiàn)狀及規(guī)劃的情況下，針對(duì)地鐵建設(shè)的規(guī)劃方案通過(guò)模型的模擬和分析，分別從地鐵線最優(yōu)長(zhǎng)度、站點(diǎn)分布指標(biāo)、地鐵站篩選等角度進(jìn)行探究，用數(shù)學(xué)模型結(jié)合實(shí)際，得出對(duì)地鐵規(guī)劃方案的改進(jìn)意見和建議。
關(guān)鍵詞：地鐵；長(zhǎng)度；站點(diǎn)分布；數(shù)學(xué)模型
1 問題重述
青島市地鐵3號(hào)線及2號(hào)線地鐵已開工建設(shè)，其它線路也已規(guī)劃，但人們關(guān)注地鐵站與自己工作或生活的地方是否較近，站點(diǎn)設(shè)置建設(shè)的合理化、人性化對(duì)地鐵使命的長(zhǎng)遠(yuǎn)有效完成起到關(guān)鍵性的作用。地鐵建設(shè)考察因素多、投資大、周期長(zhǎng)，決定了從規(guī)劃設(shè)計(jì)、建設(shè)、實(shí)施運(yùn)營(yíng)的難以隨意更改性，在規(guī)劃線路和設(shè)置站點(diǎn)時(shí)，要以資源整合為前提，以實(shí)現(xiàn)各種效益的最大化為目標(biāo)，以居民出行成本的最大化節(jié)約為依據(jù)，以方便最大多數(shù)人們出行為第一標(biāo)準(zhǔn)。在充分了解市內(nèi)各區(qū)的情況下，做出如下的地鐵站點(diǎn)分布優(yōu)化方案的數(shù)學(xué)分析。
2 前題條件要素
（1）一定時(shí)間內(nèi)當(dāng)?shù)氐目土髁勘３植蛔儭?
（2）當(dāng)?shù)孛刻斓墓唤煌ㄙY源保持不變。
（3）人們出行優(yōu)先選擇堵車幾率低，可靠性高的地鐵。
（4）假設(shè)每個(gè)站臺(tái)上下車人數(shù)相等。
（5）假設(shè)建設(shè)成本只與路線長(zhǎng)度有關(guān)，其他次要因素忽略不計(jì)。
3 符號(hào)說(shuō)明
Qi：第i條線路的站點(diǎn)密度。T： 地鐵單日工作時(shí)間。T1：地鐵運(yùn)輸高峰時(shí)段。T2：地鐵運(yùn)輸平峰時(shí)段。Ti：第i條線路單程總用時(shí)。Ni：第i條路線的站點(diǎn)數(shù) 。t1： 在小站?？繒r(shí)間 。t2：在大站及換乘站的?？繒r(shí)間。V：列車的平均運(yùn)行速度。Si：第i條線路的長(zhǎng)度。Γ：隨機(jī)數(shù)組。N：列車最大載人量。
4 數(shù)學(xué)模型
4.1 地鐵規(guī)劃數(shù)學(xué)模型涉及因素
4.1.1 投資成本和獲得的效益關(guān)系
因地鐵的投資成本高，這里只選取最基本的線路長(zhǎng)度來(lái)研究。由于距離較短時(shí)，起不到改善城市運(yùn)力的作用；當(dāng)距離較長(zhǎng)時(shí)，地鐵的運(yùn)營(yíng)要長(zhǎng)期需要政府財(cái)政補(bǔ)貼，造成過(guò)重的財(cái)政壓力，社會(huì)效益不佳，這樣只有恰到好處、適宜的長(zhǎng)度才能降低成本。
4.1.2 客流量
按基本假設(shè)（1），人口基數(shù)是客流量的多寡的本因，客流量越大，運(yùn)營(yíng)收入越大，經(jīng)濟(jì)效益越大。反之，社會(huì)效益小，虧損值越大。
4.2 模型建立
（1）模型一 ：地鐵長(zhǎng)度的合理性探究。
青島市區(qū)軌道交通線網(wǎng)由8條線路組成，青島城區(qū)有M1-5線，黃島區(qū)有M6、M7線，紅島區(qū)設(shè)有M8線。
對(duì)目前地鐵規(guī)劃分析：地鐵1號(hào)線：由青島北站到達(dá)流亭機(jī)場(chǎng)，起點(diǎn)至終點(diǎn)時(shí)間為：T1=S1/v+（n-1）×t1+t2，地鐵4.5.6.7.8號(hào)線運(yùn)行時(shí)間為Ti（i=4，5，6，7，8）=Si/v+n×t1，第i條地鐵上列車完整從起點(diǎn)到終點(diǎn)的次數(shù)：n=T/Ti。
按基本假設(shè)（3）、（4）；在線路各站下車的人數(shù)不定，創(chuàng)立相應(yīng)數(shù)組，確定該站下車旅客數(shù)N×Γ，根據(jù)按基本假設(shè)（5），則第i條地鐵線每日的總的最大客流量為： N+N×Γ×w（N（i）-2）。
經(jīng)計(jì)算每條地鐵的長(zhǎng)度分別為：M1線為36.6km，M2線為55.3km，M3線為25.1km，M4線為22.3km，M5線為13.3km，M6線為30.6km，M7線為14.6km，M8線為33.7km。
（2）模型二：青島地鐵站點(diǎn)評(píng)價(jià)指標(biāo)的建立。
模型求解：地鐵1號(hào)線中山站，位于市中心，是連接黃島區(qū)和城陽(yáng)區(qū)的南北骨干線路。對(duì)此建模求解，分析其是否地鐵站點(diǎn)的最優(yōu)選擇方案。將有關(guān)因素兩兩進(jìn)行比較：
（3）模型三：站點(diǎn)篩選模型。
模型建立：
①模型的前期分析。地鐵線路規(guī)劃是地鐵站點(diǎn)選擇的指導(dǎo)依據(jù)，地鐵站點(diǎn)選址是線路規(guī)劃站點(diǎn)的修正。
②從地鐵規(guī)劃所選出的備選站點(diǎn)中確定最優(yōu)站點(diǎn)，使連接站點(diǎn)的線路為最短，既降低建設(shè)成本，又保證乘車時(shí)間最短。
5 模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)
本模型分別從長(zhǎng)度、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)、站點(diǎn)篩選分析了地鐵規(guī)劃問題，采取了多種科學(xué)運(yùn)算方法，采集了較為客觀的數(shù)據(jù)進(jìn)行了運(yùn)算與驗(yàn)證，與實(shí)際雖有所偏差，但考慮到現(xiàn)實(shí)復(fù)雜性與不可控因素，結(jié)果完全可以接受，屬于較為成功的模型。
