時(shí)間：2023-11-16 10:36:04
序論：在您撰寫數(shù)學(xué)中的反證法時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
1 可以應(yīng)用反證法的幾類問題
1.1 某些具有唯一性的命題
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，唯一性的問題比較常見，也是很平凡的一類數(shù)學(xué)問題，而要對(duì)于這些唯一性的命題加以論證，用我們常用的直接推理方法是很難證明的，也是不能直觀啟示我們解決這種問題，通過(guò)圖形的啟發(fā)，有利于得到證題的途徑，那么解決這類問題最好的方法就是采用反證法，能夠簡(jiǎn)便的證明唯一性的命題。
由此來(lái)看，在應(yīng)用直接證明法證明問題時(shí)，要盡可能畫出準(zhǔn)確圖形，這樣可以通過(guò)圖形的直觀啟示，有利于找到證明的途徑，而反證法卻恰好不同，它往往為了清楚地說(shuō)明問題，常常需要畫出某些不準(zhǔn)確的圖形，甚至不存在的圖形，從而進(jìn)行歸謬證明，這就是反證法的基本特征之一。
1.2 結(jié)論為“不是”“不等”“不平行”或“必是”“必過(guò)”等否定或肯定的命題
在結(jié)論給予的是否定或肯定的命題時(shí)，通常采用直接法是很難得出證明途徑的，就算能夠經(jīng)過(guò)分析法、綜合法多種方法的合用能夠加以證明，但證明過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，而且難度很大，此時(shí)，我們通常采用“反證法”。
1.3 某些結(jié)論以“至多”“至少”等形式出現(xiàn)的命題
像“至多”或“至少”這樣的問題，通?？梢詮南喾吹囊饬x“至少”或“最多”來(lái)考慮問題，那么這類問題就簡(jiǎn)單多了。
1.4 用反證法證明“無(wú)限”類的命題
有些命題要證明結(jié)論中涉及“無(wú)限”的形式，如：要證明具有某種性質(zhì)的元素有無(wú)窮多個(gè)，一般來(lái)說(shuō)不容易直接證明的，而“無(wú)限”的反面是“有限”，以“有限”為前提進(jìn)行推理論證就要方便多了。
綜述，以上四種類型的問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用反證法最基本、最典型的幾類問題。
2 反證法中怎樣推出矛盾
2.1 與“反設(shè)”矛盾
例如：如圖2-1所示，已知在ABC中，BEAC于點(diǎn)E，CFAB于點(diǎn)F，求證：AB=AC
證明：假設(shè)AB≠AC，若AB>AC，
SABC= AB?CF，
SABC=AC?BE，BE=CF，
AB?CF>AC?BE
即：SABC>SABC，這是個(gè)矛盾，
若AB
假設(shè)不成立，即：AB=AC
2.2 與“已知條件”矛盾
例如：如圖2-2所示，在四邊形ABCD中，AB+DB≤AC+CD，
求證：AB
證明：假設(shè)AB=AC，則在ABC中，
∠ACB=∠CBA，
但∠BCD>∠ACB，
∠BCD>∠CBD，
BD>CD，
BD+AB>CD+AC
這與已知條件AB+DB≤AC+CD相矛盾，
若AB>AC，在ABC中∠ACB>∠CBA，
又∠BCD>∠ACB
∠BCD>∠CBA 而∠CBA>∠CBD，
∠BCD>∠CBD BD>CD
AB+BD>AC+CD
與已知條件AB+DB≤AC+CD相矛盾
綜述，AB≠AC，AB≯AC，AB
2.3 導(dǎo)致自相矛盾
例如：求證：方程8x+15y=50沒有正整數(shù)解
證明：假設(shè)方程8x+15y=50有正整數(shù)解，x=x0，y=y0
則：8x0+15y0=50
8x0=50-15y0=5（10-3y0）5是8x0的約數(shù)，
因此，5是x0的約數(shù)，x0≥5
又8x0=50-15y0，y0是正整數(shù)，y0≥1，
8x0≤50-15=35
x0≤35/8 這與前面推出的x0≥5相矛盾，
故，方程8x+15y=50沒有正整數(shù)解
2.4 推出與已知的定義、定理、公理、性質(zhì)矛盾
例如：已知點(diǎn)A、B、C、D是平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)，其中任意兩個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，求證：總能在其中選出三個(gè)點(diǎn)，使其三點(diǎn)組成的三角形至少有一個(gè)不大于45°。
證明：假設(shè)在點(diǎn)A、B、C、D中任三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的所有內(nèi)角都大于45°，可分兩種情況：
⑴ 若點(diǎn)A、B、C、D成凸四邊形（如圖右）則假設(shè)∠ABD、∠CBD、∠BAC、∠DAC、∠ADB、∠CDB、∠ACB、∠ACD都大于45°，
則：∠ABD+∠CBD+∠BAC+∠DAC+∠ADB+∠CDB+∠ACB+∠ACD>8×45°=360°，
即∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC>360°，
這與四邊形的內(nèi)角和為360°矛盾。
⑵ 若點(diǎn)A、B、C、D成凹四邊形（如圖2-4-2），連結(jié)AC、BD，假設(shè)∠ABD、∠ABC、∠ACB、∠ACD、∠ADC、∠ADB都大于45°，
則∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC+∠ADB>6×45°=270°，
即：∠DBC+∠BCD+∠CDB=270°
這與三角形的內(nèi)角和為180°矛盾，
由⑴、⑵可知，命題得證。
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，反證法中的矛盾大致由以上四種矛盾靈活組成，只要推出矛盾存在，則假設(shè)不成立。推出矛盾是反證法中的關(guān)鍵步驟，也是反證法中的必要步驟，通過(guò)矛盾來(lái)肯定結(jié)論。
3 總結(jié)中心論點(diǎn)及其反證法的錯(cuò)誤使用和結(jié)果
反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的證明方法之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中占有較高的地位，應(yīng)用及其廣泛，靈活運(yùn)用反證法能夠有效地解決某些數(shù)學(xué)問題，這就要求我們學(xué)會(huì)正確使用反證法，把反證法在數(shù)學(xué)中運(yùn)用得靈活多變、自如。
何 昊
（江蘇省南京市第十三中學(xué)鎖金分校）
摘 要：系統(tǒng)地介紹了理論基礎(chǔ)，對(duì)反證法的邏輯形式，唯一的負(fù)命題，命題，肯定命題三用反證法適用的命題類型進(jìn)行了詳細(xì)討論。
關(guān)鍵詞：反證法；否定性；唯一性
在數(shù)學(xué)的諸多方法中，反證法是一種重要的證明方法，尤其在數(shù)學(xué)證明中，它是一種間接的證據(jù)，被稱為“一個(gè)最先進(jìn)的武器”的數(shù)學(xué)家.反證法經(jīng)常被用來(lái)證明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命題.用反證法證明命題成立的基本步驟可以簡(jiǎn)單地概括為“否定―推理―反駁―肯定”四個(gè)步驟.一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決方案，如果你覺得不足或沒有啟動(dòng)的“條件”，不妨考慮反證法的使用.反證法的應(yīng)用范圍很廣，比如代數(shù)、數(shù)論、幾何、組合等方面的應(yīng)用.
一、反證法的概念及類型
反謂反證法，就是在要證明“若A則B”時(shí)，可以先將結(jié)論B予以否定，記作，然后從A與出發(fā)，經(jīng)正確的邏輯推理而得到矛盾，從而原命題得證.
反證法大致可分為以下兩種類型：
歸謬法：論題結(jié)論的反面只有一種情況，只要把這種情況就達(dá)到了目的.
窮舉法：論題結(jié)論的反面不止一種情況，要一一駁倒，最后才能肯定原命題結(jié)論正確.
二、反證法常用于以下幾種命題的證明
1.存在性命題
例1：證明A，B，C，D，E五數(shù)之和等于5，則其中必有一個(gè)不小于1.
分析：這個(gè)問題似乎很簡(jiǎn)單，但直接的證明是不容易的.因此，應(yīng)用反證法，它可以很容易地證明.
證明：假設(shè)A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+E
所以5個(gè)數(shù)都小于1不成立，故必有一個(gè)數(shù)不小于1，即原命題是正確的.
2.否定性命題
例2：設(shè)平面上有六個(gè)圓，每個(gè)圓的圓心都在其余各圓的外部.試證明：平面上任一點(diǎn)都不會(huì)同時(shí)在這六個(gè)圓的內(nèi)部.
分析：直接證明某點(diǎn)在哪些圓的內(nèi)部，在哪些圓的外部，有些困難，故最好用反證法來(lái)證明.
證明：假設(shè)平面內(nèi)有一點(diǎn)M同時(shí)在這六個(gè)圓的內(nèi)部，為了方便，我們把繞M的六個(gè)圓心從某個(gè)開始按順時(shí)針方向分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，連結(jié)MA，MB，MC，MD，ME，MF.
考慮AMB，M在A內(nèi)，B在A外，所以有AB>AM，同理，AB>BM，即在AMB中，AB大于其他兩邊.
由“大邊對(duì)大角”知，∠AMB>∠ABM.同理，∠AMB>∠BAM.
所以，3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，
所以∠AMB>60°.
同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.
所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.
但是，很顯然，這個(gè)角圍成了一個(gè)周角，它們的和不可能大于360°，出現(xiàn)矛盾.
故而假設(shè)不正確，所以原命題成立.
3.唯一性命題
例3：求證方程x=sinx+a（a為常數(shù)）的解唯一.
分析：直接解或證明是非常困難的，作為唯一的命題往往采用反證法證明.
所以原方程的解是唯一的.
從上面的例子中，我們可以看到，最大的優(yōu)勢(shì)是反證法――超過(guò)一個(gè)或幾個(gè)條件，從相反的結(jié)論來(lái)看，與一些已知的條件下，原出口的沖突，從而達(dá)到負(fù)的假設(shè)、肯定原命題的目的.從上面，我們應(yīng)該充分利用反證法，必須正確把握靈活運(yùn)用“反設(shè)”“歸謬”這兩個(gè)反證步驟.反設(shè)是反證法的第一步，能否正確否定結(jié)論，對(duì)論證的正確性有著直接的影響.
反證法是很巧妙的，它的應(yīng)用是很廣泛的，但究竟怎樣的命題證明才適于用反證法，卻很難回答，這是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)問題.
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 反證法 使用條件
在生活中，我們都有這樣的常識(shí)，去掉大米中的砂粒，有兩種方法.一種是直接從大米中把砂粒一粒一粒地揀出來(lái)；一種是用間接的方法――淘洗法，把砂粒殘留下來(lái).這兩種方法雖然形式不同，但結(jié)果卻是一樣的，都能達(dá)到去掉砂粒的目的.有時(shí)用直接方法很困難，而用間接方法卻容易得多.牛頓曾說(shuō)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”當(dāng)一些命題不易從正面直接證明時(shí)，就可考慮用反證法.
一、反證法的基本概念
1.反證法的定義
法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)做了如下概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾.”這是對(duì)反證法的極好概括.其實(shí)反證法也稱作歸謬法。反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較簡(jiǎn)單的題目，在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較為廣泛，在解決一些較難問題的時(shí)候，反證法能體現(xiàn)其優(yōu)越性.
2.反證法的基本思想
反證法的基本思想就是否定之否定，這種基本思想可以用下面的公式表示：
“否定推理矛盾肯定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過(guò)正確無(wú)誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定.
3.反證法的邏輯依據(jù)
通過(guò)以上三個(gè)步驟，為什么能肯定原命題正確呢？其邏輯根據(jù)就在于形成邏輯的兩個(gè)基本規(guī)律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡(jiǎn)單地說(shuō)“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”.反證法在其證明過(guò)程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假.再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真.所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的.
二、反證法的步驟
用反證法證題一般分為三個(gè)步驟：
1.反設(shè).假設(shè)原命題的結(jié)論不成立；
2.歸謬.從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；
3.結(jié)論.由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論正確.
即：否定結(jié)論推導(dǎo)出矛盾結(jié)論成立.
三、反證法的種類
1.歸謬反證.結(jié)論的反面只有一種情形，只要把它駁倒，就能達(dá)到證題目的.
2.窮舉反證.結(jié)論的反面不止一種情形，必須將它們逐一駁倒，才能達(dá)到證題目的.
四、反證法的典型例題
例1：已知：AB，CD是圓內(nèi)非直徑的倆弦（如圖），求證：AB與CD不能互相平分.
證明：假設(shè)AB與CD互相平分與點(diǎn)M，則由已知條件AB，CD均非圓O直徑，可以判定M不是圓心O，聯(lián)結(jié)OA，OB，OM.
因?yàn)镺A=OB，M是AB中點(diǎn)，所以O(shè)MAB（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊）.同理可得：OMCD，從而過(guò)點(diǎn)M有兩條直線AB，CD都垂直于OM.這與已知的定理相矛盾.故AB與CD不能互相平分.
五、反證法的使用條件
任何方法都有它成立的條件，也都有它適用的范圍.離開了條件超越了范圍就會(huì)犯錯(cuò)誤，同樣，問題解決也就沒有那么容易.因此，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)正確使用反證法解題.
雖然用反證法證明，邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)而清晰，論證自然流暢，可謂是干凈利落，快速而可行，是一種很積極的證明方法，而且用反證法證題還有很多優(yōu)點(diǎn)：如思想選擇的余地大、推理方便等.但是并不是什么題目都適合用反證法解決.
例2：如果對(duì)任何正數(shù)p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個(gè)根是正實(shí)數(shù)，則系數(shù)a=0，試證之.
分析：看了本題的證明過(guò)程似乎很合理，但其實(shí)第三步，即肯定原結(jié)論成立的論證錯(cuò)了.因?yàn)?，本題的題設(shè)條件為對(duì)任意正數(shù)p，y=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，結(jié)論是a=0，但本題的題設(shè)條件與結(jié)論是矛盾的；當(dāng)a=0時(shí)，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時(shí)，對(duì)于任何正數(shù)p，它只有一個(gè)根；在b=0時(shí)，僅當(dāng)p=-c>0的條件下，它有無(wú)數(shù)個(gè)根，否則無(wú)根，但總之不會(huì)有兩個(gè)根.題設(shè)條件和結(jié)論矛盾.因此，本題不能反證法來(lái)處理.若原題改為“如果對(duì)于任何正數(shù)p，只存在正實(shí)根，則系數(shù)a=0”，就能用反證法證明.
因此，對(duì)于下列命題，較適用反證法解決.
（1）至多至少型命題；（2）唯一性命題；（3）否定型命題；（4）明顯型命題；（5）此前無(wú)定理可以引用的命題.
例3：設(shè)a，b都是正數(shù)，求證：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.
證明：反設(shè)ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有l(wèi)n（a/b）≥（a-b）/b，由對(duì)稱性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a
即：0>（a-b）/a≥0這一矛盾說(shuō)明ln（a/b）≤（a-b）/b
即：ln（b/a）≥（a-b）/b
交換位置：ln（a/b）≥（a-b）/b
合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b
反證法是數(shù)學(xué)中的一種重要的證明方法.牛頓曾說(shuō)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”它是從命題的否定結(jié)論出發(fā)，通過(guò)正確的邏輯定理推理導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題的正確性的一種重要方法.反證法之所以有效是因?yàn)樗鼘?duì)結(jié)論的否定實(shí)際上增加了論證的條件，多一個(gè)條件，這對(duì)發(fā)現(xiàn)正確的解題思路是有幫助的.對(duì)于具體、簡(jiǎn)單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，通過(guò)逆向思維，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題就能迎刃而解.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一.
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞：反證法；證明；矛盾；命題；假設(shè)
有個(gè)很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個(gè)名叫王戎的小孩，一天他和小朋友發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨(dú)有王戎沒動(dòng)，王戎說(shuō)：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的?！边@個(gè)故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃.在數(shù)學(xué)里這種方法叫反證法.
反證法不但在實(shí)際生活和初等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在高等數(shù)學(xué)中也具有特殊作用.數(shù)學(xué)中的一些重要結(jié)論，從最基本的性質(zhì)、定理，到某些難度較大的世界名題，往往是用反證法證明的.即：提出假設(shè)――推出矛盾――肯定結(jié)論.
“反證法”雖然是在平面幾何教材中出現(xiàn)的，但對(duì)數(shù)學(xué)的其他各部分內(nèi)容，如代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何中都可應(yīng)用.下面通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明其應(yīng)用。
一、否定性命題
證明：假設(shè)AB，CD不平行，即AB，CD交于點(diǎn)P，則過(guò)P點(diǎn)有ABEF，且CDEF，與“過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線垂直于已知直線”矛盾.假設(shè)錯(cuò)誤，則AB∥CD
否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但何時(shí)出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測(cè)的，也沒有一個(gè)機(jī)械的標(biāo)準(zhǔn)，有的甚至是捉摸不定的.一般總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮（例如，平面幾何問題往往聯(lián)系到相關(guān)的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點(diǎn).因此在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得出什么樣的矛盾.只需正確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結(jié)束.
反證法推理過(guò)程中出現(xiàn)的矛盾是多種多樣的，推理導(dǎo)出的結(jié)果可能與題設(shè)或部分題設(shè)矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質(zhì)）相矛盾，可能與臨時(shí)假設(shè)矛盾，或推出一對(duì)相互矛盾的結(jié)果等.
關(guān)鍵詞：反證法；數(shù)學(xué)；證明
【中圖分類號(hào)】G633.6
1 引言
公元前六世紀(jì)中期的古希臘七賢之首--泰勒斯最早引入了數(shù)學(xué)證明的思想，公元前三世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德第一個(gè)最廣泛、最嫻熟地運(yùn)用了數(shù)學(xué)證明，我國(guó)數(shù)學(xué)家江澤函則指出："沒有數(shù)學(xué)證明，就沒有數(shù)學(xué)"。反證法是數(shù)學(xué)證明中的一種間接證明方法，在數(shù)學(xué)命題的證明中被廣泛應(yīng)用。歐幾里德證明"素?cái)?shù)有無(wú)窮多"、歐多克斯證明"兩個(gè)正多邊形的面積比等于其對(duì)應(yīng)線段比的平方"、"鴿子原理"和"最優(yōu)化原理"的證明等都用了反證法。但是由于在現(xiàn)行的各種教材中沒有對(duì)反證法給出系統(tǒng)的介紹，學(xué)生對(duì)反證法原理的理解和恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用也存在不少的問題，故本文在此"拋磚引玉"。
2 反證法內(nèi)涵
2.1 什么是反證法
法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪說(shuō)過(guò)："反證法在于表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾。"即先假設(shè)命題中結(jié)論的反面成立，結(jié)合已知的定理?xiàng)l件，進(jìn)行正確的推理、論證，得出和命題中的題設(shè)或前面學(xué)習(xí)過(guò)的定義、公理、定理、已知的事實(shí)相矛盾，或自相矛盾的結(jié)果，從而斷定命題結(jié)論的反面不可能成立，因而斷定命題中的結(jié)論成立，這種證明的方法就叫做反證法。
2.2 反證法的原理
2.2.1 矛盾律
矛盾律是亞里士多德的形式邏輯的基本規(guī)律之一，其基本內(nèi)容是：在同一個(gè)論證過(guò)程中，對(duì)同一對(duì)象的兩個(gè)相矛盾的、對(duì)立的判斷，其中至少有一個(gè)是假的，它的公式是：不是。如對(duì)""這個(gè)對(duì)象，"是有理數(shù)"和"是無(wú)理數(shù)"的兩個(gè)判斷中至少有一個(gè)是假的。
2.2.2 排中律
排中律是形式邏輯的由一個(gè)基本規(guī)律，其基本內(nèi)容是：在同一個(gè)論證過(guò)程，對(duì)同一對(duì)象的肯定判斷和否定判斷。這兩個(gè)相矛盾的判斷必有一個(gè)是真的，它的公式是：或者是或者是，排除了第三種情況的可能，在數(shù)學(xué)論證中常根據(jù)排中律進(jìn)行推理。如要證明"是有理數(shù)"，只要證明"不是有理數(shù)"不真就夠了。這是因?yàn)?不是有理數(shù)"和"是有理數(shù)"是對(duì)象的兩個(gè)相矛盾的判斷，根據(jù)排中律，其中必有一個(gè)是真的。
2.3 運(yùn)用反證法證明論題的步驟
運(yùn)用反證法證明數(shù)學(xué)命題""，首先，必須弄清楚命題的條件和結(jié)論，然后按以下步驟進(jìn)行論證：
第一步：否定命題的結(jié)論，作出與相矛盾的判斷，得到新的命題；
第二步：由出發(fā)，利用適當(dāng)?shù)亩x、定理、公理進(jìn)行正確的演繹推理，引出矛盾結(jié)果；
第三步：斷定產(chǎn)生矛盾的原因，在于判斷不真，從而否定，肯定原結(jié)論成立，間接證明了原命題。
分析上述三個(gè)步驟可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于由新的論題演繹出一對(duì)矛盾，一般為推出的結(jié)果與某一定義、定理、公理、已知條件、所作題斷矛盾，或是推出兩個(gè)相互矛盾的結(jié)果。
值得注意的是在運(yùn)用反證法證明命題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致地審題，若發(fā)現(xiàn)與論題結(jié)論相矛盾方面有不止一種情況，必須予以一一否定。且有時(shí)并非全部運(yùn)用反證法，它可能只在證明過(guò)程中部分地出現(xiàn)。
3 反證法在證明論題中的運(yùn)用
反證法是重要的證明方法，在幾何、代數(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的運(yùn)用，現(xiàn)分類舉例說(shuō)明。
3.1 反證法在幾何中的運(yùn)用
3.2 反證法在代數(shù)中的運(yùn)用
4 結(jié)語(yǔ)
由上可知，用反證法證明一些問題時(shí)，有著其它方法所不能替代的作用。師生在了解了反證法的特點(diǎn)、證明過(guò)程及應(yīng)用"須知"后，加強(qiáng)訓(xùn)練、不斷總結(jié)，就能熟練地運(yùn)用了。
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞：反證法；證明；矛盾；應(yīng)用
中圖分類號(hào)：G633.6？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）02-0077-02
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，反證法應(yīng)用相當(dāng)廣泛。怎樣正確運(yùn)用反證法是一個(gè)難題。本文主要研究的是一些直接證明難以入手甚至無(wú)法入手的題目，用反證法就會(huì)使證明變得輕而易舉。
一、反證法原理及解題步驟
1.反證法原理。反證法是一種論證方式。它首先假設(shè)某命題不成立，然后推出明顯矛盾的結(jié)論，從而得出原假設(shè)不成立，原命題得證。總的來(lái)說(shuō)反證法就是通過(guò)證明原命題的反面不成立來(lái)確定原命題正確的一種證明方法。反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用。有的問題不易從問題的正面去解答，但若從問題的反面著手卻容易解決，它從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確嚴(yán)格的推理，得到與已知假設(shè)或已成立的數(shù)學(xué)命題相矛盾的結(jié)果，從而得到原命題的結(jié)論是不容否定的正確結(jié)論。
2.反證法的解題步驟。在中學(xué)數(shù)學(xué)題目的求解證明過(guò)程中，當(dāng)直接證明一個(gè)命題感到困難時(shí)，我們經(jīng)常采用反證法的思想。由此，我們總結(jié)出用反證法證明命題的三個(gè)步驟：①提出假設(shè)：做出與求證結(jié)論相反的假設(shè)。②推出矛盾：與題設(shè)矛盾；與假設(shè)矛盾；恒假命題。③肯定結(jié)論：說(shuō)明假設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。數(shù)學(xué)問題是多種多樣的，盡管大多問題一般使用直接證明，但有些問題直接證明難度較大，而用反證法證明，卻能迎刃而解。下面我們結(jié)合實(shí)例總結(jié)幾種常用反證法的情況。
二、反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
反證法雖然是在平面幾何教材中提出來(lái)的，但對(duì)數(shù)學(xué)的其他部分內(nèi)容如代數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何中都可應(yīng)用反證法。那么，究竟什么樣的命題可以用反證法來(lái)證呢？下面就列舉幾種一般用反證法來(lái)證比較方便的命題。
1.基本命題?；久}就是學(xué)科中的起始性命題，這類命題由于已知條件及能夠應(yīng)用的定理、公式、法則較少，或由題設(shè)條件所能推出的結(jié)論很少，因而直接證明入手較難，此時(shí)應(yīng)用反證法容易奏效。
例1 求證：兩條相交直線只有一個(gè)交點(diǎn)。已知：如圖，直線a、b相交于點(diǎn)P，求證：a、b只有一個(gè)交點(diǎn)。證明：假定a，b相交不只有一個(gè)交點(diǎn)P，那么a，b至少有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q。于是直線a是由P、Q兩點(diǎn)確定的直線，直線b也是由P、Q兩點(diǎn)確定的直線，即由P、Q兩點(diǎn)確定了兩條直線a，b。
與已知公理“兩點(diǎn)只確定一條直線”相矛盾，則a，b不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，于是兩條相交直線只有一個(gè)交點(diǎn)。
2.否定性命題。否定性命題，也就是結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題，即結(jié)論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現(xiàn)的命題，直接證法一般不易人手，而運(yùn)用反證法能使你見到“柳暗花明又一村”的景象。
3.存在性問題。在存在性問題中，結(jié)論若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此來(lái)推出矛盾，從而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我們用反證法來(lái)證明。
例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求證：a，b，c中至少有一個(gè)不小于1。證明：假設(shè)a，b，c都小于1，則2x2-2x+3.5
4.無(wú)窮性命題。無(wú)窮性命題是指在求證的命題中含有“無(wú)窮”、“無(wú)限”等概念時(shí)，從正面證明往往無(wú)從下手時(shí)，我們常使用反證法。
例3 證明■是無(wú)理數(shù)。證明：假設(shè)■不是無(wú)理數(shù)，那么■是有理數(shù)，不妨設(shè)■=■（m，n為互質(zhì)的整數(shù)）， m2=3n2，即有m是3的倍數(shù)，又設(shè)m=3q（q是整數(shù)），代人上式得n2=3q2，這又說(shuō)明n也是3的倍數(shù)，那么m與n都是3的倍數(shù)，這與我們假設(shè)m、n互相矛盾，■是無(wú)理數(shù)。
5.唯一性命題。有關(guān)唯一性的題目結(jié)論以“…只有一個(gè)…”或者“……唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題，用反證證明，常能使證明過(guò)程簡(jiǎn)潔清楚。
例4 設(shè)0
從而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此與x1≠x2且0
三、應(yīng)用反證法應(yīng)該注意的問題
對(duì)于同一命題，從不同的角度進(jìn)行推理，常常可以推出不同性質(zhì)的矛盾結(jié)果，從而得到不同的證明方法，它們中有繁冗復(fù)雜，有簡(jiǎn)單快捷，因此，在用反證法證明中，應(yīng)當(dāng)從命題的特點(diǎn)出發(fā)，選取恰當(dāng)?shù)耐评矸椒ā?/p>
1.必須正確“否定結(jié)論”。正確否定結(jié)論是運(yùn)用反證法的首要問題。
2.必須明確“推理特點(diǎn)”。否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測(cè)的。一般是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮，這正是反證法推理的特點(diǎn)。只需正確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一出現(xiàn)，證明即告結(jié)束。
3.了解“矛盾種類”。反證法推理過(guò)程中出現(xiàn)的矛盾是多種多樣的，推理導(dǎo)出的結(jié)果可能與題設(shè)或部分題設(shè)矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質(zhì)）相矛盾，可能與臨時(shí)假設(shè)矛盾，或推出一對(duì)相互矛盾的結(jié)果等。
反證法是一種簡(jiǎn)明實(shí)用的數(shù)學(xué)解題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。學(xué)會(huì)運(yùn)用反證法，它可以讓我們掌握數(shù)學(xué)邏輯推理思想及間接證明的數(shù)學(xué)方法，提高觀察力、思維能力、辨別能力，以及養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的習(xí)慣。我認(rèn)為，只有了解這些知識(shí)，在此基礎(chǔ)上再不斷加強(qiáng)訓(xùn)練，并不斷進(jìn)行總結(jié)，才能熟練運(yùn)用。
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞：反證法；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用
反證法是一種重要的證明方法，歷來(lái)是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。運(yùn)用反證法有時(shí)可以達(dá)到簡(jiǎn)練又確切的良好效果，可以說(shuō)，沒有反證法的數(shù)學(xué)，只是原始、極不完整的數(shù)學(xué)，因此，深刻的理解反證法的實(shí)質(zhì)，了解這種方法的一般規(guī)律，對(duì)于提高邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的能力，有著十分重要的意義。本文通過(guò)以下方面來(lái)說(shuō)明反證法在教學(xué)中的應(yīng)用。
一、什么是反證法
反證法是一種間接證明命題的方法。該方法先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后以此及其有關(guān)的定義、公理、定理、題設(shè)為依據(jù)，言出有據(jù)地導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，從而證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不能成立，進(jìn)一步肯定原來(lái)的結(jié)論必定成立。簡(jiǎn)言之，就是從反面人手論證命題的真實(shí)性的方法。
反證法具體又分為歸謬法和窮舉法，在反證法中，當(dāng)命題的結(jié)論的反面只有一個(gè)時(shí)，則只需這種情況就能證明結(jié)論正確，這種反證法叫做“歸謬法”。當(dāng)命題結(jié)論的反面有兩種或兩種以上的可能時(shí)，則需一一，從而肯定原結(jié)論為真，這種反證法叫做“窮舉法”。
二、反證法的證題步驟
運(yùn)用反證法證題時(shí)，一般有下述三個(gè)步聚：
（1）反設(shè)：就是假設(shè)原命題的結(jié)論的反面成立。
（2）歸謬：從假設(shè)出發(fā)，由正確的演繹推理過(guò)程，推出與公理，或定義，或與已知定理和公式，或與已知條件，或與假設(shè)相矛盾的結(jié)果，或所推得的結(jié)果自相矛盾。
（3）結(jié)論：判斷原命題結(jié)論反面不能成立，從而肯定原命題結(jié)論成立。
三、宜用反證法證明的命題形式
為了便于運(yùn)用反證法證題，必須搞清宜用反證法證明的命題所具有的以下幾種常見形式。
待證命題用直接法難于人手時(shí)，宜用反證法.如立體幾何中開始的一些性質(zhì)定理的證明就是如此。
下面再舉一例
例1 如果正實(shí)數(shù)a，b滿足ab=ba，且a
證：假設(shè)a≠b，即ab
ab=bablna=alnb，
這與（1）式相矛盾，故a>b的假設(shè)不成立
所以，有a=b
說(shuō)明：此題用反證法，推出結(jié)論與題設(shè)相矛盾，并及時(shí)地發(fā)現(xiàn)矛盾。
四、反證法證題時(shí)，應(yīng)注意的問題
（1）一定要在推理過(guò)程中有意地制造矛盾，并及時(shí)地發(fā)現(xiàn)矛盾。
