時間：2023-03-20 16:22:32
序論：在您撰寫古典概型論文時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導您走向新的創(chuàng)作高度。
[關鍵詞] 最優(yōu)古典概率空間 優(yōu)化 應用
一、引言和預備知識
隨機試驗的所有可能結(jié)果的全體稱之為樣本空間，通常用表示，中的點稱之為樣本點，通常用表示。在古典概率計算中，需要計算樣本空間和其子集A兩者包含的樣本點個數(shù)。由于樣本點總數(shù)和有利場合數(shù)的計算必須在已經(jīng)確定的樣本空間中進行，顯然構(gòu)造恰當?shù)臉颖究臻g是古典概率解題的第一步。而且隨著研究問題的不同，樣本空間可以相當簡單，也可以相當復雜。即使是同一個問題也同樣會如此。因此，如何構(gòu)造樣本空間才能使問題的解決比較簡捷，是一個非常值得探討的問題。最近，在某些講授古典概型時介紹了一些排列組合公式，但并不是說全部古典概型的概率計算非用那些公式不可，此時，樣本空間的選取很重要。在一些論文的啟發(fā)下，避開在構(gòu)造樣本空間中可能會出現(xiàn)的種種謬誤，僅就在正確思路的前提下提出最優(yōu)古典概率空間的概念，并闡述如何由欲求概率事件構(gòu)造最優(yōu)古典概率空間，總結(jié)出優(yōu)化樣本空間的四大原則。其主旨有二，一是盡量避免排列組合，二是構(gòu)造最優(yōu)古典概率空間，從而不斷深化對概率空間的認識。
【定義1】設所有可能的試驗結(jié)果的全體為U={}，事件A由其中某m個實驗結(jié)果組成，即A={}。這里為1，2，…n中指定的m個不同的數(shù)，則A發(fā)生的概率p(A)定義為，即p(A)=，由此定義的概率叫做古典概率。
【定義2】設有隨機實驗E，由E決定的樣本空間為，F(xiàn)是中的一代數(shù)，為定義在F上的古典概率。我們稱(,F,)是一個關于事件的最優(yōu)古典概率空間，如果它滿足：()是一個古典概率空間；()是包含事件的最小的樣本空間。即：若有，也是由E決定的樣本空間，必有。由()知：若有也是由決定的樣本空間，則要么，要么中基本事件的發(fā)生不再具有等可能性。
說明：最優(yōu)古典概率空間的涵義有兩個方面：一是為一古典概率空間（Ω是由隨機實驗E決定的樣本空間，F(xiàn)是中的代數(shù)，是F上的古典概率）；二是針對欲求概率的事件來講，是包含的最小的樣本空間。換言之，若有也是由決定的包含的樣本空間，則必有，對于欲求概率的事件，如何構(gòu)造最優(yōu)古典概率空間是解題的關鍵。
另外，在解答古典概型題目時，構(gòu)造最優(yōu)古典概率空間十分重要，它要求我們抓住欲求概率的事件的本質(zhì)特點，排除其他它因素的干擾，把事件放在一個最小的概率空間里討論。
二、關于最優(yōu)古典概率空間優(yōu)化的討論
1.無關因素刪除法。對于一個具體的問題，如何去尋求最佳樣本空間呢？就一般而論，古典概率解題中樣本空間構(gòu)造的原則為：①能夠反映我們關心的問題（即包含所要研究的事件）；②盡量簡單。其中①是基本的，②是技巧性的。這里的“盡量簡單”不僅僅理解為要求樣本空間包含的樣本點盡量少，一般應以樣本點總數(shù)和有利場合數(shù)計算簡單方便為依據(jù)。尤其是無限樣本空間的場合更是如此。因而，對于一個具體的問題構(gòu)造其最佳樣本空間，其中關鍵的一點要抓住刻畫欲求概率事件的本質(zhì)特點，而把與其無關的因素丟掉不予考慮。
2.等價事件轉(zhuǎn)化法。由于二等價事件含有相同的基本事件（或樣本點），故在同一次試驗中二事件發(fā)生的概率是相等的。正是利用這一性質(zhì)，我們可以在古典概型中待求概率的事件所含樣本點數(shù)不易求時，通過將其轉(zhuǎn)化為等價事件，建立起相應的樣本空間，求出等價事件的概率而達目的。
3.結(jié)構(gòu)對稱壓縮法。對稱性的運用在解古典概型的問題中是很廣泛的（事實上，古典概型中的所謂“等可能性”正是“對稱性”的一種后果），利用對稱性不僅可以把樣本空間壓縮到最小，而且還可以甩開繁瑣的排列組合，使得運算簡便，收到事半功倍的效果。
4.相關元素定位法。所謂相關元素定位法，是當遇到要同時考慮二個相互制約的元素時可將其中的一個首先固定，在此前提下考慮另一元素的各種可能狀態(tài)，從而建立起相應樣本空間，一般地此必是最佳的樣本空間。
1.通過對幾個試驗的觀察分析，經(jīng)歷幾何概型的建構(gòu)過程;
2.通過問題情境，總結(jié)歸納幾何概型的概念和幾何概型的概率公式;
3.會用幾何概型的概率公式對簡單概率問題進行計算，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想;
4.能根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別判別某種概型是古典概型還是幾何概型;
5.通過大量生活實例，感受生活中處處有數(shù)學，樹立數(shù)學服務于生活的觀點.
二、教學重點
1.掌握幾何概型的基本特點;
2.會用幾何概型的概率公式對簡單概率問題進行計算.
三、教學難點
判斷一個試驗是否為幾何概型;如何將實際背景轉(zhuǎn)化為幾何度量.
四、教學方法
引導啟發(fā)式、對話式.
五、教學過程
活動一 游戲中的幾何概型
1.教師給出問題情境：甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲（轉(zhuǎn)盤如右圖所示），規(guī)定當指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝. 在這種情況下求甲獲勝的概率是多少？
（設計意圖：創(chuàng)設問題情境，旨在激起學生學習數(shù)學的熱情，調(diào)動學生主體參與學習活動的積極性，并讓學生體會身邊的幾何概率模型.）
2.學生會很快得到答案：.教師提出問題：“有什么方法可以說明概率為■？”學生分小組完成轉(zhuǎn)盤實驗，填寫《實驗數(shù)據(jù)記錄表》。
3.教師用計算機模擬轉(zhuǎn)盤實驗.
教師小結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)，指針指向B區(qū)域的頻率有大于0.5的，有小于0.5的，但總是在0.5附近擺動. 實驗次數(shù)越多，頻率在概率附近的擺動幅度越小.
（設計意圖：一方面是調(diào)動學生學習的積極性，以最快的速度進入學習狀態(tài).另一方面，讓學生再次完成大量重復隨機試驗，進一步理解概率的統(tǒng)計定義. 而計算機的模擬實驗也讓學生再次感受到信息技術(shù)在數(shù)學學習中的意義.）
活動二 感受情境，建構(gòu)新知
問題情境1：從1984年洛杉磯奧運會開始，韓國射箭女隊就開始了在奧運舞臺上的稱霸之路. 直到2008年北京奧運會，中國箭手張娟娟成為第一個打破堅冰的“勇者”，先后戰(zhàn)勝韓國箭手闖入決賽，并且在決賽中以一環(huán)的優(yōu)勢絕殺韓國箭手樸成賢，打破了韓國隊在這一項目上二十多年的稱霸，向世界證明了韓國女隊并非不可戰(zhàn)勝，堪稱最有價值的一次突破.
奧運會射箭比賽的靶面直徑是122cm，黃心直徑是12.2cm，假設箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點，那么如何計算射中黃心的概率？
（設計意圖：通過張娟娟的成就，培養(yǎng)學生的愛國之情，增強民族自豪感，進行情感教育. ）
問題情境2：有一杯800ml的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出100ml，求小杯水中含有這個細菌的概率？
問題情境3：某人在7U00 ～ 8U00的任意時刻隨機到達單位，求他在7U10 ～ 7U20之間到達單位的概率.
（設計意圖：三個問題情境讓學生認識到概率與我們的生活息息相關，激發(fā)了學生的興趣. 對具體情境進行仔細分析，讓學生跨越“古典概型”，體驗試驗結(jié)果在等可能發(fā)生的前提下，從少到多，從疏到密，從有限到無限，從量變到質(zhì)變，培養(yǎng)學生的理性精神和辯證思想. 同時，問題情境覆蓋長度、面積、體積三個層面，為后續(xù)教學做好鋪墊.）
教師提出思考問題：
問題1：上述三個問題有哪些共同特點？與之前所學的古典概型一樣嗎？
教師板書：①無限性;②等可能性.
問題2：上述三個問題中的概率，你是怎樣計算的？能不能模仿古典概型的計算公式，得到一個一般性的結(jié)論呢？
（設計意圖：明確指令，幫助學生從直觀感受上升到理性認識，為后續(xù)教學埋下伏筆.）
活動三 形成定義，對比辨析
定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型.
幾何概型的概率公式：
教師提出問題：幾何概率模型和古典概率模型的區(qū)別有哪些？請同學分組討論，填寫下表.
（設計意圖：讓學生明確幾何概型和古典概型的區(qū)別與聯(lián)系，進一步理解和掌握幾何概型.）
活動四 理論遷移 學以致用
例一海豚在水池中自由游弋，水池的橫剖面為長30m，寬為20m的長方形. 求此海豚嘴角離岸邊不超過2m的概率.
教師提出以下問題，引導學生分析題意，正確選擇幾何度量.
①試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域是什么？其幾何度量是什么？
②記事件A：“此海豚嘴角離岸邊不超過2m”，構(gòu)成事件A的區(qū)域是什么？其幾何度量是什么？
學生很快給出答案：
（設計意圖：給出幾何概型的簡單例題，通過引導分析，幫助學生建構(gòu)起解決幾何概型問題的一般方法和步驟.答題的格式和規(guī)范表述，將解題教學落到實處.）
活動五 小結(jié)歸納 布置作業(yè)
教師提問：通過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲呢？
作業(yè)
在開始教學活動之前，我們首先要關心的是通過教學活動能使學生的發(fā)展達到什么樣的目標.
高中數(shù)學課程標準中對數(shù)學建模這部分內(nèi)容的要求如下：
（1）在數(shù)學建模中，問題是關鍵.數(shù)學建模的問題應是多樣的，應來源于學生的日常生活、現(xiàn)實世界、其他學科等多方面.同時，解決問題所涉及的知識、思想、方法應與高中數(shù)學課程內(nèi)容有聯(lián)系.
（2）通過數(shù)學建模，學生將了解和經(jīng)歷解決實際問題的全過程，體驗數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系，感受數(shù)學的實用價值，增強應用意識，提高實踐能力.
（3）每一個學生可以根據(jù)自己的生活經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)并提出問題，對同樣的問題，可以發(fā)揮自己的特長和個性，從不同的角度、層次探索解決的方法，從而獲得綜合運用知識和方法解決實際問題的經(jīng)驗，發(fā)展創(chuàng)新意識.
（4）學生在發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程中，應學會通過查詢資料等手段獲取信息.
（5）學生在數(shù)學建模中應采用各種合作方式解決問題，養(yǎng)成與人交流的習慣，并獲得良好的情感體驗.
（6）高中階段至少應為學生安排 1 次數(shù)學建模活動.還應將課內(nèi)與課外有機的結(jié)合起來，把數(shù)學建模活動與綜合實踐活動有機地結(jié)合起來.
筆者不對數(shù)學建模的課時和內(nèi)容提出具體建議.學校和教師可根據(jù)各自的實際情況，統(tǒng)籌安排數(shù)學建?；顒拥膬?nèi)容和時間.
根據(jù)課程標準的要求和數(shù)學建模教學的三個階段，教學目標可以如下設計：
1.第一階段：簡單建模
這是數(shù)學建模教學打基礎的重要階段，雖然叫做簡單建模，但是它并不簡單.這一階段的核心就是要學生理解什么是數(shù)學建模，為什么要做數(shù)學建模，如何進行數(shù)學建?；顒右约芭囵B(yǎng)學生的建模意識.因此教學目標可以如下制定：
知識與技能：了解數(shù)學建模的概念，初步掌握五步建模法，能用五步建模法解決簡單的數(shù)學建模問題.
過程與方法：讓學生初步感受數(shù)學建模的過程，理解用數(shù)學工具解決實際問題的方法.
情感態(tài)度與價值觀：初步培養(yǎng)學生運用數(shù)學建模方法解決實際問題的意識，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想.
2.第二階段：典型案例建模
這是學生數(shù)學建模能力提高的關鍵階段，也是積累的階段.這時可以安排與教材內(nèi)容相關的典型案例，讓學生掌握建模的常用方法.
知識與技能：掌握一些典型的數(shù)學建模案例，對于類似的問題可按照典型案例的方法來解決.
過程與方法：通過典型案例建模的過程，使學生更進一步認識數(shù)學建模的過程.
情感態(tài)度與價值觀：進一步培養(yǎng)學生用數(shù)學建模方法解決實際問題的意識，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想.
3.第三階段：綜合建模
在典型案例建模的階段學生積累的大量的典型案例，此時可以以建模為核心，以小組為單位開展數(shù)學建模的課外活動.要很好地完成這一階段，需要學生進行大量的課外活動與實踐.
知識與技能：靈活運用五步建模法提出問題并解決問題，能用計算機進行運算編程解決數(shù)學問題.
過程與方法：經(jīng)歷數(shù)學建模的完整過程，在過程中學會學習，在過程中提高能力.
情感態(tài)度與價值觀：通過數(shù)學建模的過程培養(yǎng)學生的科學思維方法，提高創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想，培養(yǎng)學生的合作精神.
從高中數(shù)學課程標準的要求來看，我們不難看出，并非所有的班級和學生都需要經(jīng)歷這樣的三個階段.在實際教學中，筆者認為可根據(jù)學情的不同來制定目標，確定是否進行下一階段的教學.可以只進行簡單建模的教學，也可以適當?shù)剡M行典型案例建模的教學，當然如果在時間和精力允許的情況下，可以嘗試進行綜合建?；顒?
二、教學目標的實現(xiàn)
1.教學內(nèi)容的選擇
數(shù)學建?；顒拥慕虒W內(nèi)容就是根據(jù)“問題”和它的數(shù)學背景來確定的.
古典概型是一種特殊的數(shù)學模型，也是一種概率模型，用古典概型的理論和方法可以揭示生活中的一些問題.因此，根據(jù)我們已經(jīng)編制的教學目標，可以把數(shù)學建模教學的切入點放在古典概型上.也就是說，數(shù)學建模的問題是以古典概型為數(shù)學背景的.其教學內(nèi)容主要包括：
（1） 古典概型的含義.
（2） 古典概型的概率計算公式.
（3） 數(shù)學建模的概念及五步建模法.
（4） 隨機數(shù)的概念及用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)的方法.
（5） 次品檢驗問題.
（6） 彩票中獎問題.
2.教學方式的選擇
（1）第一課時
這在數(shù)學建模的教學中屬于簡單建模階段，簡單建模階段一般可以選擇的教學方式有講授式、講練式、探練式等.同時這一課時還有古典概型的教學任務，因此，可以用講練式與探練式相結(jié)合的教學方式來進行這堂課的教學.
（2）第二課時
【關鍵詞】古典概率 中學教學 探討
遵義學院數(shù)學系同學在各個縣中學實習期間，對所在實習學校進行了教學調(diào)查。重點是調(diào)查概率統(tǒng)計這門課在中學的教學情況。通過調(diào)查他們得出了一致的結(jié)論，概率統(tǒng)計這門課，中學課本上講得較淺，導致學生易學易懂而不易解題。均一致要求作適當?shù)闹R拓展，以適應新形勢的需要。
某同學說：“近幾年高考中，談得比較多的是概率的得分率偏低，特別是古典概率方面的考題”，針對這個問題，他在實習期間，調(diào)查了遵義縣某中學的高三年級800多名學生，從中隨機抽取了50名學生，對概率統(tǒng)計的應用進行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果如下：
從上表中可以清楚看出：比例顯然不符合正態(tài)分布。該同學說：究其原因，依據(jù)同學們的反映，課本上的知識講得較淺，知識面狹窄，從而導致他們易學易懂而不易解，均要求將”等可能事件”這部分內(nèi)容作適當?shù)耐卣埂?/p>
在高考試題中，關于概率統(tǒng)計的試題也逐漸增加，而且難度超過了普通高中數(shù)學課程的標準。又一同學舉了這樣一個例子：
2005年高考湖北卷文科第21題：某會議室有5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關，該型號的燈泡的壽命為1年以上的概率為P1，壽命為2年以上的概率為P2。從使用之日起每滿一年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換。 (I)在第一次燈泡更換工作中，求不需要更換燈泡的概率和更換 2只燈泡的概率；(II)在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；(III)當P1=0.8，P2=0.3時，求在第二次燈泡更換工作中，至少需要更換4只燈泡的概率.(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)。
在這道考題中，在求(Ⅱ)的解答時，其過程涉及到要求在第一次未更換燈泡，而在第二次需要更換燈泡的概率。如果設A=“該型號燈泡壽命在一年以上”，B=“該型號燈泡壽命在2年以上”，由題意得：P(A）=P1，P(B)=P2，則P()=1-P2，則P（第1次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡)= P(A )。在求P(A )中，就涉及到獨立與非獨立的問題。在公開發(fā)表的論文中，關于這一道題的這一步解，就有兩種截然不同的答案。在湖北省教育考試院主辦的《湖北招生考試》2005年6月10日出版的《2005年高考試卷與參考答案》中，認為A與是獨立的，有P(A ）=P(A)P()=P1(1－P2)，而華南師范大學數(shù)學科學院2006年出版的《中學數(shù)學研究》第一期34頁上的文章認為A與非獨立，認為B是A的子集，有P(A )=P1－P2。在這里，我們暫時不討論這兩種解答誰是誰非。大部分高中生在這種試題的面前，是束手無策的。而在高中的課本里，關于事件的獨立性，僅僅是通過具體的情景中，介紹兩個事件的相互獨立性。課本的要求僅僅是“了解”。所以許多學生在了解了高考試題的難度以后，迫切要求老師在講授概率統(tǒng)計時，作適當?shù)募由钔卣埂?/p>
又一同學在論文“伯努利概型在初等教學應用的拓展”中，闡述了她在遵義市某中學高二年級十一個班，總計七百零九名學生學習概率統(tǒng)計這部分內(nèi)容的大致情況。她發(fā)現(xiàn)學生普遍認為概率統(tǒng)計易學易懂，但不易掌握，“尤其是n重獨立重復試驗中有k次發(fā)生的概率最不易掌握”，該同學把全日制普通高級中學教科書《數(shù)學》（必修、人教版、第二冊B下）關于伯努利概型的內(nèi)容與大學教科書中有關內(nèi)容進行了比較。認為“高等數(shù)學的表述及證明為高中教材計算在n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率的計算方法奠定了理論基礎?！弊詈蟮贸鲆粋€結(jié)論：高等數(shù)學中伯努利概型對于高中的n重獨立試驗發(fā)生k次的概率具有理論指導意義。
另一同學利用實習期間，對遵義縣一些中學作了調(diào)查，在畢業(yè)論文“對高中數(shù)學等可能性事件的探討”中說：“在調(diào)查時，我發(fā)現(xiàn)高中生在解決概率問題時，總是容易犯一些分析問題不足的錯誤”?！拔艺J為這是因為學生在最開始學習概率時，對‘等可能性事件的概率’問題沒有能夠深刻地認識理解?！?/p>
高中數(shù)學的定義：
一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱一個基本事件，通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成，如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1/n。如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率: P(A)=m/n。大學里，把“等可能性事件的概率”問題歸為有限等可能概型——古典概型，其定義為：設古典概型的所有基本事件為:，事件A含有其中的m個基本事件，則定義事件A的概率，P(A)=m/n。其中n是基本事件的總數(shù)，m是A包含的基本事件數(shù)。然后他根據(jù)高中學生的反映，評價說：“其實，大學里對‘等可能性事件的概率’的定義比中學里的定義還要簡單” 該同學進一步地說：“集合是高中生進入高中后最先學習的數(shù)學知識”，如果把集合的知識重新定義“等可能性事件的概率”，問題會更清楚。下面是他重新下的定義：“如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，那么這n個基本事件就組成一個集合I(I為全集)；且集合I中所有元素出現(xiàn)的可能性都相等，那么每個元素（基本事件）出現(xiàn)的概率都是。如果某個事件A含有m個元素（結(jié)果），即A為全集I的一個子集，那么事件A的概率就為：P(A)=m/n”。
以上就這些同學的調(diào)查，寫的畢業(yè)論文。我們可以看出，同學們這次利用實習，進行了專項調(diào)查，獲得了豐收的碩果。筆者同意他們的看法，初等教育的概率統(tǒng)計部分內(nèi)容，應該作適當?shù)耐卣?，要把大學的內(nèi)容與中學的內(nèi)容有機結(jié)合起來。
高中數(shù)學課程是義務教育后普通高級中學的一門主要課程，它包含了數(shù)學中最基本的內(nèi)容。是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎課程。高中數(shù)學課程對于認識數(shù)學與自然，數(shù)學與人類社會的關系，認識數(shù)學的科學價值，文化價值，提高分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎性的作用。高中數(shù)學課程有助于學生認識數(shù)學的應用價值，增強應用意識，形成解決簡單實際問題的能力。高中數(shù)學課程是學習高中物理，化學，技術(shù)等課程和進一步學習的基礎。同時，它為學生的終身發(fā)展，形成科學的世界觀，價值觀奠定基礎，對提高全民族素質(zhì)具有重要意義。
參考文獻
[1]湖北招生考試[J].《2005年高考試題與參考答案》．2005-06-10.
一、數(shù)學史融于數(shù)學教學的相關研究綜述
張國定（2007）設計了海倫公式，正弦定理，勾股定理，二次方程求解問題，“數(shù)學歸納法”五個結(jié)合數(shù)學史的教學案例。以課前三分鐘“數(shù)學史話”的方式教學，將案例進行課堂教學檢驗。發(fā)現(xiàn)這種方式提高了學生學數(shù)學的興趣，成績也有顯著變化。由此得出了提出問題-引導閱讀（課外）-討論交流-教師的概括與提升-進一步的閱讀的教學模式。
雷曉莉（2008）設計了變量與函數(shù)，平面向量的數(shù)量積及運算；正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù)；等差數(shù)列前n項和；圖形的初步認識；一次不定方程、方程組的解決；一元二次方程組的解法（配方法）八個結(jié)合數(shù)學史的案例。并將案例在課堂進行檢驗。研究結(jié)果表明，結(jié)合數(shù)學史的課堂教學，加深了教師對教學內(nèi)容的理解和研究，提高了教師對教育理念的應用。
劉興華（2009）從教學實踐出發(fā)，結(jié)合問卷調(diào)查中發(fā)現(xiàn)的普遍問題，選定“無理數(shù)”、“勾股定理”、“相似三角形”三部分內(nèi)容，給出不同教學內(nèi)容的數(shù)學史料開發(fā)形式；根據(jù)教材中數(shù)學知識的教學結(jié)構(gòu)體系，給出了數(shù)學史與教材內(nèi)容重新整合的不同方式；在不同教學目標下，針對問卷中出現(xiàn)的數(shù)學史滲入教學的難點問題，結(jié)合不同授課類型，開發(fā)出三個數(shù)學史融入課堂教學的教學設計。從頁展示數(shù)學史視角下的體現(xiàn)數(shù)學思想方法的教學設計。在三個數(shù)學史融入課堂教學的設計中，給出數(shù)學史料在數(shù)學課堂中三個滲入形式。由此，體現(xiàn)一定的課堂標準的教學理念，實現(xiàn)教材設置的教學目標。
朱鳳琴，徐伯華（2010）在數(shù)學教育的整體框架下，綜合考慮數(shù)學史與教學要素的關系，建構(gòu)了許多融入模式，如詮釋學模式、資源聯(lián)絡模式、歷史―心理的認識論模式、三面向模式、“ 為何―如何” 模式.這些模式對于我國的 HPM 本土化建設有以下多方面的啟示：教師是數(shù)學史融入的主體；課程目標是數(shù)學史融入的方向；多角度分析是數(shù)學史融入的關鍵；數(shù)學史資源急待開發(fā)；HPM 應成為教師教育的重要內(nèi)容。
崔海燕（2011）在“數(shù)學史選講”部分設計了兩個案例，分別是周髀算進與勾股定理，歐拉與高斯，在數(shù)學必修內(nèi)容中對函數(shù)概念，等比數(shù)列求和，平面直角坐標系中的基本公式進行了數(shù)學史的案例設計。這都為結(jié)合數(shù)學史的課堂教學提供可用的案例。曹麗莉（2011）細致研究了數(shù)學史在中學數(shù)學課程中的滲透方法，該方法分為二個階段，第一階段：將歷史直接附加于教學過程，第二階段：融入式應用。并為數(shù)學史融于數(shù)學教學提供了一般的模式。
苗蓉（2012）針對目前缺乏數(shù)學史的教學案例和教師不知道如何應用數(shù)學史編寫教學案例這一問題，開發(fā)了對數(shù)及運算，橢圓教學兩個完整的案例。并將開發(fā)的案例應用于數(shù)學課堂教學實踐，通過調(diào)查訪談法，得到用數(shù)學史編寫的教案可以提高學生學習數(shù)學的興趣，幫助學生理解數(shù)學的本質(zhì)，改變學生對數(shù)學的態(tài)度。
王芳（2012）設計實施了兩課時的數(shù)學史融入導數(shù)應用的教學，經(jīng)過問卷調(diào)查，訪談后得到融入數(shù)學史的教學模式不僅因其主觀，生動為學生所認同喜愛，同時因其展現(xiàn)的歷史曲折而激發(fā)了學生的自信與執(zhí)著。
楊海（2012）多維度對現(xiàn)階段數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的情況與模式進行整體分析.對已有將數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的優(yōu)秀教學設計進行分析，從數(shù)學史融入數(shù)學教學的角度出發(fā)，對對數(shù)的概念、等比數(shù)列前n項和公式和余弦定理的教學設計進行了具體分析。自從HPM成立以來，通過以上文獻發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史融于數(shù)學教學的研究隊伍在不斷壯大。
二、“概率與統(tǒng)計”融于高中教學的研究綜述
在國內(nèi)，華東師范大學的李俊利用SOLO分類法（structure of the observed Learning out coming，即觀察到的學習結(jié)果的結(jié)構(gòu)），從認知角度對中國各個年齡段的中學生的概率概念掌握的情況進行了調(diào)查，提出了學生對概率的認識有五個水平層次，同時還就中小學概率教與學提出了一些原則性建議。臺灣蘇慧珍對“數(shù)學期望值”這節(jié)內(nèi)容的數(shù)學史料進行加工，設計學習工作單的形式M行了教學。張德然建議：營造應用實踐空間，讓學生在解決實際問題中領悟與發(fā)展隨機性數(shù)學思維，豐富概率統(tǒng)計的實際背景；曹學良，鄭潔將概念圖運用到概率統(tǒng)計教學中，為概率統(tǒng)計教學提供了一種新途徑。近年來，隨著概率進入了新課程標準，相應的教學研究也逐步展開。 王敏在其論文《新課程高中數(shù)學概率統(tǒng)計內(nèi)容的設置及教學研究》中提到了課堂教學應注重數(shù)學模型的建立。曾宏偉（2005）研究了古典概型的數(shù)學模型，袋中取球，排序，放球入箱等問題的分析方法，并利用這些分析方法解決了一些古典概型的概率計算問題。郭朋貴（2006）在詳細介紹了概率概念的基礎上，從概念學習的一般形式出發(fā)，分析了概率概念的教學：概率的統(tǒng)計定義，古典概型和幾何概型都是屬于概念這一范疇，根據(jù)概念教學學習的現(xiàn)狀調(diào)查，建議將游戲和數(shù)學史實引入課堂，激發(fā)學生學習的興趣，淡化復雜計算，領悟古典概型，幾何概型的實質(zhì)。張玲玲（2007）介紹將數(shù)學建模思想用于概率教學中。徐傳勝（2009）細致介紹了作為中國第一本概率論史研究專著的《拉普拉斯概率理論的歷史研究》（王幼軍著）。
徐傳勝，呂建榮（2006）主要介紹了棣莫弗概率思想的發(fā)展過程，系統(tǒng)探討和分析了正態(tài)概率曲線的發(fā)現(xiàn)過程，及棣莫弗概率思想的創(chuàng)新點。賈小勇，徐傳勝，白欣（2006）在《最小二乘法的創(chuàng)立及其思想方法》一文中用歷史考察與數(shù)理分析的方法，探討了勒讓德和高斯對最小二乘法的兩大歷史發(fā)展過程及其創(chuàng)立者的思想與方法。徐傳勝 對惠更斯以及他的著作《論賭博中的計算》這本書進行深入研究，細致闡述了數(shù)學期望的概念，惠更斯分析法，并嘗試解決了該著作中的5個問題，也將點數(shù)問題的解決做一歷史梳理，并將帕斯卡，費馬，惠更斯的概率思想做了詳細介紹。
張弛（2006）將概率統(tǒng)計的發(fā)生發(fā)展歷史，通過歷史典故，人物簡介等方式滲透教學中。蘇醒（2008）采用調(diào)查問卷的形式對“歷史發(fā)生原理”進行驗證，并在此理論構(gòu)想下設計了幾何概型，離散型隨機變量這兩個典型案例。張馨心（2011）對高中古典概型，隨機現(xiàn)象，數(shù)據(jù)的收集這三個主題進行教學設計，介紹了一些案例的歷史背景。
蘇丹（2011）對古典概型中直接計算法，轉(zhuǎn)化法，對稱法，利用數(shù)學期望計算法；這幾種方法結(jié)合實例進行了討論。魏首柳（2011）通過若干實例，給出了古典概率中的“骰子問題”的基本事件數(shù)的不同計算方法，從而得到關于“骰子問題”的較為全面的古典概率的計算方法。
超龍，楊逢喜等（2012）針對目前一般院校的“概率統(tǒng)計”課程學生畏難，教師難把握的現(xiàn)狀，針對高校課程建議將概率統(tǒng)計中的歷史典故，著名數(shù)學家簡介，常用實例等融入教學過程中，這種方式不僅能有效提高學生的學習能力和創(chuàng)造力，而且還可以大大提高學生的認識能力以及認識世界的深度和廣度。王文靜（2013）用試驗、觀察、類比、歸納、猜想等合情推理的方法分別對高中概率的概念，公式以及解題三個方面提出了一些基本的教學策略。并對概率中的基本概念進行了教學設計并進行了教學實驗。實驗結(jié)果表明采用合情推理的方法對高中概率教學起到積極的作用。
吳駿（2013）根據(jù)統(tǒng)計概念發(fā)展的歷史片段，結(jié)合教材內(nèi)容，設計了八年級數(shù)學教材中平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的數(shù)學史活動，并付諸課堂教學實踐，通過此次活動后發(fā)現(xiàn)，不僅加強了學生對統(tǒng)計概念的理解，而且兩位實驗教師的統(tǒng)計知識也得到了提升，教師專業(yè)成長也更上一層。
綜上可知，越來越多的研究者將重心轉(zhuǎn)向數(shù)學史素材的發(fā)掘與案例研究，這種研究重心的轉(zhuǎn)移是數(shù)學史融于數(shù)學教學相關研究走向深入的必然趨勢，但與數(shù)學課程緊密相關的數(shù)學概念、數(shù)學思想的歷史研究欠缺，阻礙了數(shù)學史融入高中數(shù)學課程案例的開發(fā)，同時現(xiàn)有的案例研究缺乏對案例有效性的關注。數(shù)學史融入數(shù)學課程的有效性歸根到底要經(jīng)過課堂實踐的檢驗。但由于很多原因，課堂實踐的檢驗難度很大。早期概率與統(tǒng)計只作為學生的選修內(nèi)容，不在升學考試之列，故而，造成了教師不教，學生不學的情況，概率與統(tǒng)計的教學沒有得到很好的重視。但從2003年 4 月教育部正式頒布實施《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》，“概率與統(tǒng)計”作為必修內(nèi)容，占到整個高中階段數(shù)學新增內(nèi)容的 30%。概率與統(tǒng)計的內(nèi)容由選修到必修曲折發(fā)展過程，也是數(shù)學新課程發(fā)展與改革的必然。就目前而言，針對國內(nèi)高中概率統(tǒng)計內(nèi)容研究也有，但從歷史視角進行的研究并不多，大多數(shù)是對高中數(shù)學概率統(tǒng)計運用數(shù)學史的現(xiàn)狀調(diào)查， 因此，本研究將選取高中數(shù)學中的“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容中的古典概型，幾何概型，正態(tài)分布，最小二乘法這四個主題，搜集與之相關的素材。從數(shù)學史的角度來開發(fā)案例。
參考文獻：
[1]徐傳勝，惠更斯與概率論的奠基[J].自然辯證法通訊，2006，9（6）.
《課程標準（修訂稿）》中提出了“體會數(shù)據(jù)隨機”的想法，如何設計合理的試驗落實“體會數(shù)據(jù)隨機”的要求呢？初中階段概率這部分內(nèi)容容易被認為是單純的計算，忽視在實際問題中對概率意義的理解，同學們也很少真正通過做大量重復的試驗來感受頻率與概率之間的聯(lián)系. 因此，開展“摸球”探究活動，通過活動來引領同學們體會數(shù)據(jù)的隨機性，是很有必要的.
2. 活動目的
（1） 摸球活動的情境，能帶大家進一步認識客觀事件發(fā)生的可能性. 借助計算機進行模擬試驗，進一步體會隨機現(xiàn)象的特點.
（2） 摸球、猜測、討論與交流等活動，能培養(yǎng)同學們進行合理推斷和預測的能力.
（3） 激發(fā)大家積極參與、團結(jié)合作、主動探究的學習精神，同時滲透概率的思想，從數(shù)的角度體會數(shù)學與生活的密切關系.
3. 活動重點
（1） 參與者在具體的試驗活動中，體會頻率與概率之間的關系；
（2） 引導參與者善于發(fā)現(xiàn)生活中的問題，勇于探究并敢于設想更好的解決方案.
4. 活動過程
（1） 活動體驗
一個口袋中裝有若干個除顏色外其他都相同的紅球和白球，先組織部分自愿參加摸球的同學排好隊，每人摸一次，每次摸一個球，摸完后向同學們展示，再把球放回袋子里，請觀察者直接說出袋子里哪種球多. 通過整體觀察進一步思考袋子里球的情況.
【活動說明】這個試驗的目的是希望通過試驗從數(shù)據(jù)中獲取信息，從而對總體做一些推斷，由此體會數(shù)據(jù)的隨機性.
（2） 自主探究
活動1 操作――猜想
一只口袋里裝有除顏色外其他都相同的白球和紅球共10個，同一小組（每小組由6人組成）一起做下面的游戲.
小組內(nèi)每人輪流從口袋里摸出一個球，記錄下顏色后再放回，每組摸20次后，記錄小組內(nèi)摸出的紅球、白球次數(shù)，猜一猜口袋里有幾個白球、幾個紅球.
匯總各小組的結(jié)果，記錄共摸到白球的次數(shù)和紅球的次數(shù)，根據(jù)全班摸球的結(jié)果，再猜一猜口袋里有幾個白球、幾個紅球. 小組猜的和全班猜的結(jié)果一樣嗎？和實際情況比較，情況怎樣？
【活動說明】通過統(tǒng)計摸球的情況對袋中所裝的球的情況進行推斷，體會對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的，但是數(shù)據(jù)越多越接近正確結(jié)果.
活動2 模擬――驗證
一個袋中有4個黑球和2個白球，除顏色不同外其他都相同. 在看不到球的條件下，隨機從袋子中摸出一個球，摸出黑球的概率是多少？
利用Excel提供的直接產(chǎn)生幾種常見隨機數(shù)的工具，編制適當?shù)某绦颍O計試驗來估計“摸球”的概率問題. Excel程序可以進行“無限次”的獨立重復試驗，改變試驗次數(shù)，可以得到多個頻率，可以發(fā)現(xiàn)當試驗次數(shù)足夠大時，摸到黑球的頻率接近，摸到白球的頻率接近.
【活動說明】要求同學們平時做大量重復試驗，用樣本的頻率來估計概率，一般不太現(xiàn)實，借助Excel產(chǎn)生一些隨機數(shù)來代替大量重復的試驗的結(jié)果，可以模擬概率試驗，體會頻率的隨機性與相對穩(wěn)定性，探索頻率與概率的關系. 不斷提高信息接收能力，體驗處理問題的新思想方法.
（3） 應用拓展
活動1 問題解決
1. 有五張分別印有圓、等腰三角形、矩形、菱形、正方形圖案的卡片（卡片中除圖案不同外，其余均相同），現(xiàn)將有圖案的一面朝下任意擺放，從中任意抽取一張，抽到有中心對稱圖案的卡片的概率是______.
2. 在一個不透明的盒子中裝有n個小球，它們只有顏色上的區(qū)別，其中有2個紅球. 每次摸球前先將盒中的球搖勻，隨機摸出一個球記下顏色后再放回盒中，通過大量重復摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.2，那么可以推算出n大約是______.
活動2 問題拓展
小明在觀看足球比賽時，發(fā)現(xiàn)裁判都是利用拋硬幣的方法來決定那邊先發(fā)球，他突發(fā)奇想：是否可以用啤酒瓶蓋來替代硬幣？
以小組為單位，設計一個實驗方案來驗證小明的想法是否可行.
【活動說明】拋硬幣是古典概型，而古典概型的等可能性往往是人們長期形成的“對稱性經(jīng)驗”確認的，比如拋硬幣，正反兩面出現(xiàn)的可能性各是二分之一，如果讓參與者去驗證這一結(jié)論往往適得其反，使其陷入困惑. 而只有像“拋瓶蓋”這樣的非等可能的事件才真正需要統(tǒng)計次數(shù)，從而體會試驗、統(tǒng)計的必要性. 因此，設計采用拋啤酒瓶蓋這個非等可能事件，可加深大家對數(shù)據(jù)隨機性的理解.
（4） 活動感悟
在本節(jié)課的探究過程中，你有哪些感受和收獲？請將你在探究中獲得的方法和經(jīng)驗，結(jié)合概率在生活中的應用，寫成相關論文.
【活動說明】同學們在探究活動中獲得的經(jīng)驗和感受，通過寫小論文的形式展示出來，有利于大家進行學習反思和對探究活動提高認識水平，用研究的態(tài)度對待學習，同時，數(shù)學寫作增強了理解數(shù)學、表達數(shù)學以及應用數(shù)學的能力.
5. 活動評價
公共藝術(shù)論文
談及公共藝術(shù)，除了圓雕、浮雕、壁畫等傳統(tǒng)樣式，國內(nèi)的民眾似乎很難找到關于這個名詞的其他印象。在很多人的眼里，僅城市雕塑大概就可以成為公共藝術(shù)的代名詞。并且，在此情況下，這些好不容易冠以“公共藝術(shù)”大名的作品，一部分以“宏大敘事”和紀念性為主，占據(jù)了城市中大大小小的廣場；另一部分，則以平民化、通俗化去解構(gòu)精英藝術(shù)的話語霸權(quán)，使公共藝術(shù)更多的以娛樂、玩賞的尋常狀態(tài)出現(xiàn)，并使之迅速融入城市的商業(yè)、旅游景觀之中。
在筆者讀到的有關公共藝術(shù)的書籍以及本專業(yè)的碩士論文當中，許多同仁深感中國當代公共藝術(shù)的匱乏與混亂，一致推崇“百分比藝術(shù)”這樣的公共藝術(shù)實施框架。但通過查找和閱讀，筆者發(fā)現(xiàn)國內(nèi)公共藝術(shù)的文獻當中，對立法和實施及視覺審美方面談得比較多，對介入形式的選擇和人文關懷方面談得比較少。尤其處在今日“圖像時代”，在如何讓當代藝術(shù)介入我們的城市生活的問題上，國內(nèi)幾乎很難找到一本專著。中國當代藝術(shù)雖如火如荼，然而仍有自居象牙塔之嫌，與城市公共藝術(shù)實際上是脫節(jié)的。
此選題是面向創(chuàng)作者的，即討論在中國城市的有限空間里，如何將當代藝術(shù)中的新觀念引入公共藝術(shù)，拓展公共藝術(shù)的介入形式，以及在此之上如何體現(xiàn)人文關懷。
“小品式”是個自造詞，用于“公共藝術(shù)”一詞之前，是筆者在對國內(nèi)公共藝術(shù)概貌有了一定了解之后，對一類形式的公共藝術(shù)的暫時性統(tǒng)稱。具體特點由兩方面組成：一、是指非紀念性、非功能性、非主題性；二、在空間上的占用較小。這類公共藝術(shù)是在普通市民完全放松的情況下呈現(xiàn)的，是一種“親民”的藝術(shù)。筆者之所以要談“小品式”，第一，是因為這種類型的公共藝術(shù)不牽涉到過多的功用意義，沒有過多意識形態(tài)上的約束，給藝術(shù)家和公眾更大的發(fā)揮空間；第二，是因為此類公共藝術(shù)在日新月異的中國大城市中鮮有奇葩，往往都有“假”、“大”、“空”的弊病。有些作品大張旗鼓，對空間的要求苛刻，而其結(jié)果是使之如同天外來客一樣突兀；有些過于個人化，在公共空間很難與大眾進行“對話”；有些則過于通俗化，沒有藝術(shù)的前瞻性。
藝術(shù)的介入形式是十分重要的。人們談論一件公共藝術(shù)作品，與談論博物館里的一件米開朗基羅的圓雕在情感上應該是有所不同的。與藝術(shù)不期而遇所產(chǎn)生的效果遠遠超過有著事先渲染的參觀，對于城市中為生存而奔波的人，那絕對是一種奇妙的體驗。尤其于當下的中國，那種從右至左不帶標點的豎排文的淡然幾乎消逝，城市中充滿了“驚嘆號”和“下劃線”。人們是否需要一種邂逅，一種生活的微微停頓，在沒有任何先前提示的情況下來接受藝術(shù)家獻上的一份禮物，來分享這浪漫的“逗號”與“問號”所帶來的靈光？
“人文”是一個內(nèi)涵極其豐富而又難以確切指陳的概念，“人文”與人的價值、人的尊嚴、人的獨立人格、人的個性、人的生存和生活及其意義、人的理想和人的命運等等密切相關。
“人文思考”從其根基說是一種對存在的抽象玄思。它的根本性觀念是從人類的角度來思考人，思考人的存在根基，由此才會有一系列超越性問題，如：人的本性、人的本源、人和大自然的關系、人和神的關系、人和人的關系。因為它把人作為類來思考，所以我們說它的思考是超越具體人倫事功，超越有限存在的。
“人文關懷”就是對上述人文問題的關注與愛護。它是社會文明進步的標志，是人類自覺意識提高的反映。并且，它的內(nèi)涵并不是一陳不變，而是與時俱進的。
毫無疑問，公共藝術(shù)是需要體現(xiàn)人文關懷的。藝術(shù)家在某種層面上扮演著一個社會組織者的角色，有能力通過作品，給大眾帶來精神上的援助，把在“自我療傷”中的靈魂接到集體中撫慰。然而，如何體現(xiàn)人文關懷？這種對大眾需要的滿足，在形式上，難道僅僅是低等的，原始的，只顧及一般意義上的“喜聞樂見”嗎？筆者認為，絕不是這樣。之所以用“人文關懷”而非“物質(zhì)關懷”或“人文思考”，意味著“精神性”和“主動性”。公共藝術(shù)的“公共性”不僅僅在于去“融合”、“折中”或“妥協(xié)”，而是在于尋找世界中的“永恒”與“本質(zhì)”。藝術(shù)家應該運用智慧在最大的限制中依然保持藝術(shù)的純粹性而非把它變成妥協(xié)的產(chǎn)物。公共藝術(shù)應具有引領性，是一種指向，而不是一目了然的結(jié)果。
