時間：2023-03-13 11:23:27
序論：在您撰寫平方根教案時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導您走向新的創(chuàng)作高度。
2、能用符號正確地表示一個數(shù)的平方根，理解開平方運算和乘方運算之間的互逆關系;
3、培養(yǎng)學生的探究能力和歸納問題的能力.
教學難點平方根和算術平方根的聯(lián)系與區(qū)別
知識重點平方根的概念和求數(shù)的平方根。
教學過程(師生活動)設計理念
思考歸納
導入概念如果一個數(shù)的平方等于9，這個數(shù)是多少?
學生思考并討論，使學生明白這樣的數(shù)有兩個，它們是3和-3.受前面知識的影響學生可能不易想到-3這個數(shù)，這時可提醒學生，這里的這個數(shù)可以是負數(shù).注意中括號的作用.
又如：，則x等于多少呢?
使學生完成課本165頁的填表練習.
給出平方根的概念：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根.即：如果=a，那么x叫做a的平方根.
求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.
例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方與開平方互為逆運算.
觀察：課本165頁中的圖10.1-2.
圖10.1-2中的兩個圖描述了平方與開平方互為逆運算的運算過程，揭示了開平方運算的本質.
讓學生體驗平方和開平方的互逆關系，并根據(jù)這個關系說出1,4,9的平方根.
注意：這階段主要是讓學生建立平方根的概念，先不引入平方根的符號，給出的數(shù)是完全平方數(shù).
例1：(課本165頁的例4)。求下列各數(shù)的平方根。
(1)100(2)(3)0.25
建議教師要規(guī)范書寫格式。這個思考題是引入平方根概念的切入點，要讓學生有充分的時間進行思考和體驗.
在等式中求出x的值，為填表做準備.
通過填表中的x的值，進一步加深時“兩個互為相反數(shù)的平方等于同一個數(shù)”的印象，為平方根的引入做準備.
教學中可以引導學生通過查閱資料等方式，了解平方根產
生發(fā)展的過程.(通常稱為平方根.在研究有關n次方根的問題
時，為使各次方根的說法協(xié)調起見，常采用二次方根的說法.
3表示+3和一3兩個數(shù).這種寫法學生不太習慣，在以后的教學中宜不斷提到。
通過此例使學生明白平方根可以從平方運算中求得，并能規(guī)范地表述一個數(shù)的平方根.這個例題也為后面探討平方根的特征做好準備.
討論歸納
深化概念按照平方根的概念，請同學們思考并討論下列問題：
正數(shù)的平方根有什么特點?0的平方根是多少?負數(shù)有平方根嗎?
建議：可引導學生通過觀察=a中的a和x的取值范圍和取值個數(shù)得出.
根據(jù)上面討論得出的結果填課本166頁的表.
注：學生剛開始接觸平方根時，有兩點可能不太習慣，一個是正數(shù)有兩個平方根，即正數(shù)進行開平方運算有兩個結果，這與學生過去遇到的運算結果惟一的情況有所不同，另
一個是負數(shù)沒有平方根，即負數(shù)不能進行開平方運算，這種某數(shù)不能進行某種運算的情況在有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方五種運算中一般不會遇到(0作除數(shù)的情況除外).教學時，可以通過較多實例說明這兩點，并在本節(jié)以后的教學中繼續(xù)強化這兩點.
引入符號：正數(shù)a的算術平方根可用表示;正數(shù)a的負的平方根可用-表示.例如……
思考：表示什么意思，這里的x可取什么樣的數(shù)呢?
而對于又該怎樣理解呢?這里的x又可取什么樣的數(shù)呢?通過討論，使學生對有理數(shù)的平方根有一個全面的認識.也是平方根概念的進一步深化.
體驗分類思想，鞏固平方根概念.
加深對符號意義的理解和對平方根概念的靈活應用.
測試學生對平方根概念的掌握情況.
應用例2下列各數(shù)有平方根?如果有，求出它的平方根，如果沒有，說明理由。
-64、0，，
如果有要用平方根的符號來表示。
例3：課本第166頁的例5，求下列各式的值。
(1)，(2)-，(3)
(4)，
建議：要讓學生明白各式所表示的意義;根據(jù)平方關系和平方根概念的格式書寫解題格式。平方根和算術平方根的概念是本章重點內容，兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系.區(qū)別在于正數(shù)的平方根有兩個，而它的算術平方根只有一個;聯(lián)系在于正數(shù)的負平方根是它的算術平方根的相反數(shù)，根據(jù)它的算術平方根可以立即寫出它的負平方根，因此我們可以利用算術平方根來研究平方根.
思考：-的值是多少?熟練應用平方根的概念，計算有關算式的值，是本課的主要內容。
被開方數(shù)不是完全平方數(shù)時，可用計算器求出它的近似值
練習鞏固課本第167頁的練習
小結：
1、什么叫做一個數(shù)的平方根?
2、正數(shù)、0、負數(shù)的平方根有什么規(guī)律?
3、怎樣求出一個數(shù)的平方根?數(shù)a的平方怎樣表示?
小結與作業(yè)
布置作業(yè)教科書第167頁習題10.1第3、4、7、8、11、12題。
本課教育評注(課堂設計理念，實際教學效果及改進設想)
2、本課主要是在算術平方根的基礎上建立平方根的概念，要以等式=a和已有算術
平方根概念為基礎，并使學生明確平方根與算術平方根之間的聯(lián)系與區(qū)別，明確開平方與平方之間的互逆關系，把握了這些平方根的有關概念，正數(shù)、零、負數(shù)的平方根的規(guī)律也就不難掌握了.
2、有關求算式的值的問題，一定要使學生體會到這個算式所表示的具體意義，這樣才能使學生在本質上掌握其求法.
課題：10.2立方根(1)
教學目標1、了解立方根的概念，初步學會用根號表示一個數(shù)的立方根;
2、了解開立方與立方互為逆運算，會用立方運算求某些數(shù)的立方根;
3、讓學生體會一個數(shù)的立方根的惟一性;
4、分清一個數(shù)的立方根與平方根的區(qū)別;
5、使學生理解“兩個互為相反數(shù)的立方根的關系，即.
6、滲透特殊一般-特殊的思想方法。
教學難點立方根與平方根的區(qū)別。
知識重點立方根的概念和求法。
教學過程(師生活動)設計理念
情境導入(出示電熱水器圖片)
問題(1)：同學們在家里或者商場里都見過電熱水器，像一般家庭常用的是容積50L的.如果要生產這種容積為50L的圓柱形熱水器，使它的高等于底面直徑的2倍，這種容器的底面直徑應取多少?
(學生小組討論，并推選代表發(fā)言，教師板演.)
解：設容積的底面直徑為xdm,則
2x=50
可得，
問題是什么數(shù)的立方會等于31.84呢?學生百思不得其解，教師可在此處設置一個臺階，再設問：要制作一種容積為27m3的正方體形狀的包裝箱，這種包裝箱的邊長應該是多少?
在學生充分討論的基礎上教師給出解決問題的過程：
設這種包裝箱的邊長為xm,則=27
這就是求一個數(shù)，使它的立方等于27.
因為=27，
所以x=3.
即這種包裝箱的邊長應為3m.從學生生活實際中常常見到的熱水器引入課題，讓學生從
實際問題情境中感受立方根的計算在生活中有著廣泛的應用.
空間圖形都是三維的，有關空間圖形的計算常常涉及開立方.
這個實際問題中的數(shù)量關系的分析對于學生來說是不成
問題的，但在解決問題的過程中引入了新問題，這對學生來說是一個挑戰(zhàn)，從而激發(fā)學生學習的興趣.
“什么數(shù)的立方會等于31.84?”這個問題對于學生來說
是難解決的，但該問題設置的目的是激發(fā)學生學習的興趣.
體會開立方與立方互為逆運算.
試一試(1)學生回憶平方根的概念，并聯(lián)系上面的問題，請學生歸納得出立方根的概念。
(2)學生聯(lián)系開平方的概念，給出開立方的概念。聯(lián)系平方根的概念，讓學生根據(jù)上述問題類比地給出立方根的概念，初步體會立方根與平方根的聯(lián)系與區(qū)別。
練一練(1)請學生完成課本第172頁習題10.2的第2題.
(2)請學生口頭回答以下問題：
根據(jù)立方根的意義，求下列各數(shù)的立方根：
，-64，，1，-1體會開立方與立方互為逆運算，因此求一個數(shù)的立方根可以通過立方運算來求。
深入探究完成課本第169頁的探究題：
(1)對于，可以進一步追問學生，除了2以外是否有其他的數(shù)，它的立方也等于8呢?對于下面幾個問題可以類似設問.
(2)思考正數(shù)、0、負數(shù)的立方根各有什么特點?并追問一個正數(shù)有幾個立方根?一個負數(shù)有幾個立方根?零的立方根是什么?(學生獨立探究，再小組合作交流，給出立方根的性質)
(3)嘗試用符號給出數(shù)a的立方根的表示方法.(并問a可以取什么數(shù)?)通過學生自己動手計算，讓學生感受任何一個數(shù)都有立方根，以及一個數(shù)的立方根的惟一性。
鞏固新知例1(1)求下列各數(shù)的平方根：;1;0
(2)求下列各數(shù)的立方根。
，1，0，-1，-343，-0.729
解：略
例2求下列各式的值
(1);(2);(3)
(4);(5);(6)
(7)
請學生思考數(shù)的平方根與數(shù)的立方根有什么區(qū)別與聯(lián)系呢?(學生小組討論后，請學生相互補充.)
例3判斷題：
(1)64的立方根是=()
(2)是-的立方根()
(3)()
(4)立方根等于它本身的數(shù)是0和1()
拓展新知：
(1)學生獨立研究課本第170頁的探究題，并不妨請同學再舉幾個例子，探索從上面的計算結果中可以得到什么結論?
學生自己總結出兩個互為相反數(shù)的立方根的關系：,請同學再試試看可以怎樣解?
(2)小組學習：課本第173頁的第9題，探索從上面計算結果中可以得到什么結論?讓學生進一步體會立方根與平方根的聯(lián)系與區(qū)別.
例題著眼于弄清立方根的概念，因此不僅用立方的方法求
立方根，且在書寫上采用了語言敘述和符號表示相互補充的方
式，讓學生學會從立方根與立方是互逆運算中尋找解題途徑.
學生討論，自己體會平方根與立方根的區(qū)別。
教學中應該給予學生充分思考、討論的時間，讓他們自己探索并總結出兩個互為相反數(shù)的立方根之間的關系。
小結與作業(yè)
課堂小結1.立方根和開立方的定義.
2.正數(shù)、0、負數(shù)的立方根的特征.
3.立方根與平方根的異同.
布置作業(yè)課本第172頁習題10.2第1、3、5、6題;
本課教育評注(課堂設計理念，實際教學效果及改進設想)
本節(jié)課的教學設計是以人教版教材和課程標準為依據(jù)，在教學方法上突出體現(xiàn)了創(chuàng)設
情境-提出問題-建立模型-解決問題的思路，在實際教學中采用了學生自主學習的教學
方式.
1、在導入新課時，創(chuàng)設了一個學生生活實際中常常見到的熱水器制造問題，讓學生從實際問題情境中感受立方根的計算在生活中有著廣泛的應用，體會學習立方根的必要性，激發(fā)學生的學習興趣.
2、在例題中做了適當?shù)奶幚?，把課本上的一個習題作為導入新課的引例.這個實際問題中的數(shù)量關系的分析對于學生來說是不成問題的，但在解決問題的過程中引入了新問題，
“什么數(shù)的立方會等于31.84?”，這對學生來說是一個挑戰(zhàn)，是一個學生只有“跳一跳”才能解決的問題，所以在此處鋪設了一個臺階，再設置了一個學生容易解決的問題，將學生的注意力朝著開立方運算轉化為立方運算的思路引導，讓學生對立方運算與開立方運算之間的互逆關系有初步認識，為進一步探究新知做好準備.
3、本章前兩節(jié)的內容“平方根”“立方根”在內容安排上也有很多類似的地方，因此在教學中利用類比方法，讓學生通過類比舊知識學習新知識.教學中突出立方根與平方根的對比，分析它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，這樣新舊知識聯(lián)系起來，既有利于復習鞏固平方根，又有利于立方根的理解和掌握.通過獨立思考，小組討論，合作交流，學生在“自主探索，合作交流”中充分發(fā)揮了他們的主觀能動性，感受了立方運算與開立方運算之間的互逆關系，并學會了從立方根與立方是互逆運算中尋找解題途徑.
4、在“深入探究”環(huán)節(jié)中討論數(shù)的立方根的特征，以填空的方式讓學生計算正數(shù),0,負數(shù)的立方根，尋找它們各自的特點，通過學生討論交流等活動，歸納得出“正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是負數(shù)”的結論，這樣就讓學生通過探究活動經歷了一個由特殊到一般的認識過程.教學中注意為學生提供一定的探索和合作交流的空間，在探究活動的過程中發(fā)展學生的思維能力，有效改變學生的學習方式.
5、在“拓展新知”環(huán)節(jié)中，讓學生探討了一個數(shù)的立方根與它的相反數(shù)的立方根的關系，由此可以將求負數(shù)的立方根的問題轉化為求正數(shù)的立方根的問題，讓學生體會轉化的思想.
課題：10.2立方根(2)
教學目標1、使學生進一步理解立方根的概念，2、并能熟練地進行求一個數(shù)的立方根的運算;
3、能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍，4、使學生形成估算的意識，5、培養(yǎng)學生的估算能力;
6、經歷運用計算器探求數(shù)學規(guī)律的過程，7、發(fā)展合情推理能力。
教學難點用有理數(shù)估計一個無理的大致范圍。
知識重點用有理數(shù)估計一個無理的大致范圍。
教學過程(師生活動)設計理念
復習引新1、判斷題：
4的平方根是2()
1的立方根是1()
-0.125的立方根是-0.5()
的立方根是()
-6是216的立方根()
2、求下列各式的值
;;進一步理解立方根的概念，及立方根與平方根的區(qū)別。
討論問題：有多大呢?
(這里可以讓學生回憶前面學習過程中討論有多大時的方法)。
學生小組討論，并交流學方法。
因為，
所以
因為，
所以
因為，
所以
……
如此循環(huán)下去，可以得到更精確的的近似值，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，=一3.68403149……事實上，很多有理數(shù)的立方根都是無限不循環(huán)小數(shù).我們用有理數(shù)近似地表示它們.這里在提出問題后，讓學生回憶：在前一節(jié)課討論“有多大”的方法，目的是讓學生從中類比解決新問題。
立方與開立方是互逆運算，以此可以些數(shù)的立方根。
讓學生經歷這個估計的過程，不僅估算出有多大，培養(yǎng)學生的估算能力，同時也理解是無限不循環(huán)小數(shù)這個事實。
自主學習1、利用計算器來求一個數(shù)的立方根，并完成課本第171頁的練習2.
(學生利用計算器的說明書獨立學習.對于一些暫時還沒有學會的學生，可以采用同學之間互幫互學的方式解決.)
2、學生解決上節(jié)課未解決的一個問題，簡單回憶：如果要生產這種容積為50L的圓柱形熱水器，使它的高等于底面直徑的2倍，這種容器的底面直徑應取多少?(結果保留兩個有效數(shù)字)
解：略在教學中，鼓勵學生自己探索計算器的用法。
通過計算器的使用，解決了上節(jié)課未能解決的一個問題。
探一探，說一說1、利用計算器計算，2、并將計算結果填在表中，3、你發(fā)現(xiàn)了什么嗎?你能說說其中的道理嗎?
…
…
2、用計算器計算(結果個有效數(shù)字)。并利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律說出，，
的近似值。計算器的使用可以使學生從繁雜的運算中解放出來，將更的精力放在更有意義的活動，如探索規(guī)律的問題，引導學生注意觀察被開方數(shù)與立方根的小數(shù)點的位置移動有無規(guī)律。
小結與作業(yè)
布置作業(yè)必做：課本第172頁第4、8題;
選做：課本第173頁第10、11題。
本課教育評注(課堂設計理念，實際教學效果及改進設想)
本節(jié)課是立方根教學的第二節(jié)，主要采用學生自主學習的方式進行.
在教學設計中，設計了一個“有多大?’’的問題，因為學生在學習平方根時已經接觸了的大小的問題，這里在提出問題后讓學生回憶討論“有多大”時的方法，目的是讓學生從中類比解決新問題，在教學中讓學生經歷這個估計的過程，不僅估算出有多大，培養(yǎng)學生的估算能力，同時也理解是無限不循環(huán)小數(shù)這個事實.
對于計算器的使用，在教學中采用學生自己閱讀計算器的說明書、自己操作練習來掌握用計算器進行開立方運算的方法，并讓學生互相交流，讓學生親身體會到利用計算器不僅能給運算帶來很大的方便，也給探求數(shù)量間的關系與變化帶來方便.在教學過程中，教師要關注學生能否通過閱讀，掌握用計算器進行開立方運算的簡單操作;能否利用計算器探究數(shù)量間的關系，從而尋找出數(shù)量的變化關系.
使用計算器進行復雜運算，可以使學生學習的重點更好地集中到理解數(shù)學的本質上來，而估算也是一種具有實際應用價值的運算能力，在本節(jié)課的課堂教學中綜合運用筆算、計算器和估算等培養(yǎng)學生的運算能力.
課題：10.3實數(shù)(1)
教學目標1、了解無理數(shù)和實數(shù)的概念;會對實數(shù)按照一定的標準進行分類，培養(yǎng)分類能力;
2、了解分類的標準與分類結果的相關性，進一步了解體會“集合”的含義;
3、了解實數(shù)范圍內相反數(shù)和絕對值的意。
教學難點理解實數(shù)的概念。
知識重點正確理解實數(shù)的概念。
教學過程(師生活動)設計理念
試一試學生以前學過有理數(shù)，可以請學生簡單地說一說有理數(shù)的基本概念、分類.
試一試
1、使用計算器計算，把下列有理數(shù)寫成小數(shù)的形式，你有什么發(fā)現(xiàn)?
3，，，，，
動手試一試，說說你的發(fā)現(xiàn)并與同學交流.
(結論：上面的有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式)
可以在此基礎上啟發(fā)學生得到結論：任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式.
2、追問：任何一個有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都能化成分數(shù)嗎?
(課件展示)
閱讀下列材料：
設x=0.=0.333…①
則10x=3.333…②
則②-①得9x-3，即x=
即0.=0.333…=
根據(jù)上面提供的方法，你能把0.，0.化成分數(shù)嗎?且想一想是不是任何無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)?
在此基礎上與學生一起得到結論：任何一個有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都能化成分數(shù)，所以任何一個有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。
學生自己回憶有理數(shù)的分類，為引入實數(shù)的分類作好鋪
墊.
讓學生動手實踐，自己去發(fā)現(xiàn)并學會與他人交流.
在學生解決了一個問題后，層層深入地提出了一個對學生
有更大挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學生學習探索的興趣.
引入新知1、在前面兩節(jié)的學習中，我們知道，許多數(shù)的平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，它們不能化成分數(shù).我們給無限不循環(huán)小數(shù)起個名，叫“無理數(shù)”.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).
例1(1)你能嘗試著找出三個無理數(shù)來嗎?
(2)下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)?哪些是無理數(shù)?
解決問題后，可以再問同學：“用根號形式表示的數(shù)一定是無理數(shù)嗎?”
2、實數(shù)的分類
(1)畫一畫
學生自己回憶并畫出有理數(shù)的分類圖.
(2)挑戰(zhàn)自己
請學生嘗試畫出實數(shù)的分類圖.
例2把下列各數(shù)填人相應的集合內：
整數(shù)集合{…｝
負分數(shù)集合{…｝
正數(shù)集合{…｝
負數(shù)集合{…｝
有理數(shù)集合{…｝
無理數(shù)集合{…｝給出無理數(shù)定義后，請學生自己找找無理數(shù)，讓學生在尋找的過程中，體會無理數(shù)的基本特征.
應該讓學生自己小結得出結論：判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是
無理數(shù)，應該從它們的定義去辯別，而不能從形式上去分辯.
學生自己嘗試畫出實數(shù)的分類圖，體會依據(jù)分類標準的不
同會有不同的分法.
探一探我們知道，在有理數(shù)中只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，例如3和-3，和-等，實數(shù)的相反數(shù)的意義與有理數(shù)一樣。
請學生回憶在有理數(shù)中絕對值的意義.例如，|-3|=3，|0|=0，||=等等.實數(shù)絕對值的意義和有理數(shù)的絕對值的意義相同.
試一試完成課本第176頁思考題.
引導學生類比地歸納出下列結論：
數(shù)a的相反數(shù)是-a
一個正實數(shù)的絕對值是它本身，一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0.
隨著數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)，原來在有理數(shù)范圍里討論的相反數(shù)、絕對值等，自然地拓展到實數(shù)范圍內。
練一練例1求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對值：
2.5，-，，0，，-3
例2一個數(shù)的絕對值是，求這個數(shù)。
例3求下列各式的實數(shù)x：
(1)|x|=|-|;
(2)求滿足x≤4的整數(shù)x教學中應該給學生充分發(fā)表自己想法的時間，自己體會有理數(shù)關于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適用于實數(shù)。
小結與作業(yè)
布置作業(yè)必做：課本第178頁習題10.3第1、2、3題;
選做：課本第179頁習題10.3第7題
本課教育評注(課堂設計理念，實際教學效果及改進設想)
波利亞認為，“頭腦不活動起來，是很難學到什么東西的，也肯定學不到更多的東西”“學東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”“學生在學習中尋求歡樂”.在本節(jié)課的教學設計中注意從學生的認知水平和親身感受出發(fā)，創(chuàng)設學習情境，提高學生學習數(shù)學的積極性和學習興趣，設計系列活動讓學生經歷不同的學習過程.在活動過程中讓學生動手試一試，說說自己的發(fā)現(xiàn)并與同學交流結論，在交流中嘗試得出結論：任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式.進一步地提出問題：任何一個有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都能化成分數(shù)嗎?引入了無理數(shù)和實數(shù)的概念后要求學生對所學過的數(shù)按照一定的標準進行分類.分類思想是解決數(shù)學問題的常用的思想，在教學過程中，教師應該創(chuàng)造條件，讓學生體會分類標準與分類結果之間的關系.本課提出的問題“你能嘗試著找出三個無理數(shù)來嗎?”具有較大的開放性，給學生提供了思維空間，能促使學生積極主動地參與到數(shù)學學習過程中，親自體驗知識的形成過程.
課題：10.3實數(shù)(2)
教學目標1、知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，有序實數(shù)對與平面上的點一一對應;
2、學會比較兩個實數(shù)的大小;
母了解在有理數(shù)范圍內的運算及運算法則、運算性質等在實數(shù)范圍內仍然成立，能熟練地進行實數(shù)運算;在實數(shù)運算時，根據(jù)問題的要求取其近似值，轉化為有理數(shù)進行計算;
3、通過學習“實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應關系”，滲透“數(shù)學結合”的數(shù)學思想。
教學難點對“實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應關系”的理解
知識重點實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應關系
教學過程(師生活動)設計理念
試一試我們知道有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但是數(shù)軸上的點是否都表示有理數(shù)?無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示嗎?
1、課件演示課本第175頁探究題;學生動手操作，利用課前準備好的硬紙板的圓片在自己畫好的數(shù)軸上實踐體會.
2、你能在數(shù)軸上畫出坐標是的點嗎?畫一畫，說說你的方法.
教師啟發(fā)學生得出結論：每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示出來.
練習：學生自己完成課本第178頁練習第1題.
在此基礎上，教師引導學生進一步得出結論：在數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)后，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的.即：每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示;數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).
類比在有理數(shù)范圍內相反數(shù)、絕對值的幾何意義，結合數(shù)軸，在實數(shù)范圍內理解相反數(shù)、絕對值的幾何意義.
3、深入探討：平面直角坐標系中的點與有序實數(shù)對之間也存在著一一對應關系嗎?除了課件演示外再讓學生動手實踐操作的目的是讓學生直現(xiàn)認識到可以用數(shù)軸上的點來表示無理數(shù)，而每一個無理數(shù)都可以用數(shù)抽上的一個點來表示，即無理數(shù)與數(shù)軸上的點之間的對應關系.
通過練習，讓學生對于實數(shù)可以用數(shù)抽上的點表示，數(shù)抽上的一個點表示一個實數(shù)有了直現(xiàn)的認識，體會實數(shù)與數(shù)抽上的點之間的一一對應關系.將數(shù)與圖形聯(lián)系起來，體會數(shù)形結合的思想.
教師在此環(huán)節(jié)中要留給學生充足的時間，讓學生自己歸納
和總結.
比一比1、問：利用數(shù)軸，我們怎樣比較兩個有理數(shù)的大小?在數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的大.這個結論在實數(shù)范圍內也成立。
2、我們還有什么方法可以比較兩個實數(shù)的大小嗎?兩個正實數(shù)的絕對值較大的值也較大;兩個負實數(shù)的絕對值大的值反而小;正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于負數(shù)。
例1比較下列各組數(shù)里兩個數(shù)的大小
(1)，1.4;(2)，-;(3)-2，
分析：像例1(1)，即可以將，1.4的大小比較轉化為，的大小比較;也可以先求出的近似值，再通過比較它們近似值(取近似值時，注意精確度要相同)的大小，從而比較它們的大小。讓學生回憶有理數(shù)范圍內比較大小的方法，體會在實數(shù)范圍內這些兩個數(shù)大小的方法依舊成立。
通過例題，使學生掌握比較兩數(shù)大小的方法。
算一算問：在數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)后，我們已經學過哪些運算?
答：加、減、乘、除、乘方和開方運算.
接著問：有哪些規(guī)定嗎?
除法運算中除數(shù)不為0,而且只有正數(shù)及0可以進行開平方運算，任何一個實數(shù)都可以進行開立方運算.
問：有理數(shù)滿足哪些運算律?
加法交換律：a十b=b+a
加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交換律：ab=ba
乘法結合律：(ab)c=a(bc)
分配律：a(b+c)=ab+ac
我們如何知道運算律在實數(shù)范圍內是否適用?
例2計算下列各式的值：
(1)(+)-;(2)3+2
例3計算：
(1)十(精確到0.01)
(2)3+2(保留三個有效數(shù)字)
(在實數(shù)運算中，當遇到無理數(shù)并且需要求出結果的近似值時，可以按照所要求的精確度用相應的近似的有限小數(shù)去代替無理數(shù)，再進行計算.)鼓勵學生多舉一些實際例子來驗證.其意義一是為了避免學生產生片面認識，以為從幾個例子就可以得出普遍結論，二讓學生了解結論的重要性.
例2與例3要求是不同的.例2在運算中遇到無理數(shù)但并
不需要求出結果的近似值，例3卻不同，不僅在運算中遇到無理數(shù)且需要求出結果的近似值，在教學中應該提醒學生注意按照問題的要求解決問題.
練一練課本第178頁練習第2、3題
小結與作業(yè)
布置作業(yè)必做：課本第179頁習題10.3第4、5、6、7題;
選做：課本第179頁習題10.3第9題
本課教育評注(課堂設計理念，實際教學效果及改進設想)
本節(jié)課的教學設計中注重從學生已有的知識經驗出發(fā)，如學生在有理數(shù)章節(jié)中已經學習了有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，所以在教學中充分發(fā)揮學生的主體意識，讓學生主動參與學習活動，除了讓學生看課件演示外，更通過讓學生動手實驗操作，感悟知識的生成、發(fā)展和變化，自己探索得到結論：實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應關系，從而培養(yǎng)學生自主探索的學習方法，
一、活動目的
1.摸清底數(shù)。教研員在長時間的跟蹤聽評課及參加相關教研活動的過程中，從調研學情和了解教師入手，了解到被聽評課者的課堂教學情況及相關環(huán)節(jié)的基本情況。由此了解到整個學科、年組乃至學校教學流程的相關情況，為開展相關的教學活動奠定良好的基礎。
2.發(fā)現(xiàn)、培養(yǎng)、樹立典型。教研員在跟蹤聽評課的過程中，要幫助和指導教師不斷改進教學行為，提升教師的執(zhí)教能力；要發(fā)現(xiàn)、培養(yǎng)一批典型，為今后的研培工作提供材料；要總結、推廣成功的教學經驗，為提高課堂教學效益提供借鑒。
3.提升自身的專業(yè)水平和幸福指數(shù)。教研員在幫助、指導教師教學能力提升的同時，要提高自身的聽評課水平和研培能力，學識魅力和人格魅力也要得到體現(xiàn)和提升，真正體現(xiàn)教研員的價值，提升幸福指數(shù)。
4.樹立教研院的良好形象。教研員深入基層聽評課，指導學校的課堂教學，并取得一定成效，展示良好的業(yè)務素養(yǎng)和工作作風，對教研院良好形象的樹立起到一定的促進作用。
二、活動時間、范圍及形式
時間：2013年3月至2013年12月。
范圍：教研院所有中小幼專兼職教研員深入到市直學校聽評課。
形式：每位教研員要根據(jù)自身的情況與特點，恰當選取市直一所學校（含幼兒園）的一名教師、幾名教師或一個教研組作為跟蹤對象，從課堂教學、學科教研、教學常規(guī)落實等方面著手，以“參與者、合作者、研究者”的角色真正走進教室，走進課堂，走近教師，進一步關注教師的教學形態(tài)，對教師實行連續(xù)性的跟蹤指導，在聽、評、議課的過程中開展課堂教學實踐的研究，提升教研工作的質量與效益。
三、活動原則
1.理論與實踐相結合的原則。在跟蹤聽評課的過程中，既要把教育教學理論和新課改理念融入教師教育教學活動中，又要符合本地區(qū)本校及授課教師和學生的實際情況。
2.科學性和可操作性相結合的原則。在跟蹤聽評課的過程中，既要講究工作的層次性和科學性，又要考慮到工作的可行性，不能流于形式。
3.創(chuàng)新性與實踐性相結合的原則。在跟蹤聽評課的過程中既要勤于鉆研思考，創(chuàng)新工作方法，又要注重實效。
四、活動具體安排
第一階段（準備階段）：認真學習，充分調研，確定對象，制定方案
認真學習是指教研員要深入學習相關的教育理論，特別是了解掌握先進的教育理念和教學模式，要進一步研究本學科本學段的課程標準和教材，做到讀通讀透。充分調研是指教研員要在以往調查了解的基礎上，恰當選擇跟蹤對象，要充分了解跟蹤對象的基本情況和教學情況，了解學校學科教學的現(xiàn)狀，在調研了解的基礎上，根據(jù)自身的條件和特點，結合所選擇跟蹤教師的實際情況，制定出具有可操作性的跟蹤聽評課具體方案。在準備階段，教研院要制定出教研員跟蹤聽評課活動實施方案，召開市直中小學、幼兒園領導參加的會議，目的是使學校領導了解此項活動的整體情況，做好相關的配合工作，尤其是要做好過程跟蹤和結果的反饋。
第二階段（實施階段）：深入課堂，跟蹤聽課，開展教研
第一，在市直中小學、幼兒園正常授課的情況下，除每周一、周二院里例行集會和院里大型活動需要全員參與外，每位教研員跟蹤聽評課時間各部室可自行掌握，但平均每周下校不少于兩次，聽課不少于兩節(jié)。
第二，在跟蹤聽評課期間，教研員要善于發(fā)現(xiàn)教師課堂教學中存在的問題，并及時進行有針對性的指導，把過去教研員單一的“聽課—評課”模式拓展為“預設—聽課—議課—改進”不斷循環(huán)的螺旋式上升的過程，促進一線教師課堂教學的改進，以提高教師課堂教學的能力。
第三，在跟蹤聽評課期間，不僅要聽評課，還要詳細全面了解跟蹤教師的備課、批改、輔導、測評等教學常規(guī)；全面了解掌握教師的教學研究情況和學習情況，使教師不僅在課堂教學能力上有所提升，在教學管理等方面也有較大進步。
第四，教研員要利用跟蹤聽評課的機會，認真學習先進的教育理念與學科教學新動向，提升自身的素質，及時向教師推廣先進有效的教學方法和教學經驗，傳播新的觀念和教改信息，努力做到從理論的高度、用成功的經驗指導教師的教學工作。
第五，教研員要善于積累第一手資料，除記好聽課筆記外，還要有專門反映跟蹤聽評課、參加教研活動全過程的記錄，要注意積累教學案例和教學經驗，勤寫跟蹤聽評課活動反思，注意發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)典型，善于總結經驗，提升成果。
第三階段（總結表彰階段）：反饋總結，匯報成果，全面考核
一個周期的跟蹤聽評課活動結束后，教研員要整理相關材料，根據(jù)教研院的要求和自己方案的落實情況，撰寫跟蹤聽評課綜合報告，把相關的材料和綜合報告一同上交教研院。教研院將組成專家組，對每位教研員跟蹤聽評課情況進行全面考核。院里將組織召開跟蹤聽評課成果匯報會，屆時將邀請教育局相關科室的領導、市直學校的領導、被聽評課教師等一同參加。對工作實效突出、聽評課教研有創(chuàng)新、被跟蹤聽評課教師業(yè)務提高較快的教研員給予表彰獎勵，為參與此項工作且考核合格的教研員頒發(fā)市級小課題驗收合格證書。
五、活動的相關保障制度
1.部室主任負責制度。各部室主任是各部室此項活動的第一責任人，要對本部室每位教研員參與此項活動有統(tǒng)一的安排、檢查和督促，要幫助指導本部室成員參與此項活動的全過程，并進行恰當?shù)脑u價。
2.部室交流制度。每周一早會后，各相關部室要召開全體教研員會議，總結交流跟蹤聽評課情況，發(fā)現(xiàn)工作中的問題，并及時解決。
【關鍵詞】 初中數(shù)學教學；平方根；教學設計；教案
前幾天筆者參加了一個初中數(shù)學教學比賽，按比賽要求不能使用任何的輔助教學設備（如投影、課件等），只是在一個很簡單的教室里，一塊黑板，一盒粉筆，而且上課時學生手中也沒有教材. 更特別的是，上課的對象是七年級學生，上課的內容是“平方根”第一課時，這是人教版八年級上冊第十三章實數(shù)第一節(jié). 所以學生在上課前根本就沒有平時上課前的預習或預學交流，甚至在上課前對本節(jié)內容也一無所知，更沒有前后知識的聯(lián)系和鋪墊. 所以在沒有任何花哨的輔助之下，如何上好這堂課，讓學生從一無所知到理解掌握算術平方根的概念，確實讓我花了許多心思. 也正因為如此，才讓我想把我的教學設計與想法拿出來與大家商榷探討.
本節(jié)課是本章的第一節(jié)課，主要是要建立算術平方根的概念，為了使學生體會引入算術平方根的必要性，感受新數(shù)（無理數(shù)）的產生是實際生活和科學技術發(fā)展的需要，也為了激發(fā)學生的學習熱情.
一、課題的引入
課本上課題的引入是從宇宙飛船上天所需速度滿足的條件引出的平方根，然而對于沒有物理知識作為基礎的初一學生而言，這個例子既抽象又不容易理解，而且與算術平方根的概念的解決聯(lián)系不大. 但通過一個簡單的實際問題，引入算術平方根的概念對學生來說是容易接受并有興趣的. 故而筆者在設計這堂課教案時將第二課時前的一個動手裁紙的探究前置. （通過對兩個小正方形拼成一個大正方形的探究活動，一方面是培養(yǎng)學生的動手能力和思維能力，調動學生的學習積極性，另一方面是使學生理解引入算術平方根符號的必要性，明確有些正數(shù)的算術平方根不能容易地求得，為下節(jié)課的學習做準備. ） 讓學生在紙上畫出幾個邊長為1的正方形（也可以裁出），然后前后左右的同學合作看看至少要幾張紙片能拼成一個正方形，這時邊長多少，面積又是多少. 結合以前所學正方形面積的知識學生得出結論：至少要4個，這時邊長為2，面積為4；正方形面積等于邊長的平方. 那么反之呢，如果已知面積如何確定邊長？引出課本上的問題，“學校要舉行美術作品比賽，小鷗很高興. 他想裁出一塊面積為25 dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，提出問題：這塊正方形畫布的邊長應取多少？你是怎樣算出畫布的邊長的呢？”從而引導學生找出平方與平方根互為逆運算的一種關系. 通過具體數(shù)據(jù)（完成課本上一張關于正方形的面積與邊長的表格）的試驗與實踐，將問題歸納為“已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)”的問題.
二、概念的導出和強化
【關鍵詞】“教•學•練” 學案
2008年下學期，我校在鳳崗鎮(zhèn)黨委、政府的領導下，在廣東教育學院周峰教授的指導下，在教學中廣泛使用“教•學•練”三合一教學模式。兩年來，各科教學質量取得了長足的發(fā)展，教育教學效果取得了明顯的進步。2008~2010兩個學年度，我校均獲得東莞市教育局的“教育教學效果、教育教學管理”雙獎。我校從一個相對薄弱、相對落后的面上中學，發(fā)展成為獲得“雙獎”學校，很大程度上取決于“教•學•練”三合一教學模式的使用。
我們知道，提高教學效果，提高教學質量，在我們華僑中學這樣的學校，數(shù)學這一科顯得尤為重要?！敖?#8226;學•練”三合一教學模式的使用，在我們學校還是仁者見仁，智者見智。然而，我個人認為，“教•學•練”的使用，對于我們數(shù)學這個學科，效果明顯，作用突出。而的“教•學•練”的使用，最為關鍵的一環(huán)就是的“教•學•練”學案的編寫。
下面就本人近兩年使用“教•學•練”的點滴體會，談談“教•學•練”學案（以下簡稱為《學案》）的編寫中存在的一些問題及其解決這些問題的方法。
1.《學案》編寫中存在的問題
“教•學•練”三合一教學模式的推進，關鍵在于《學案》的編寫?！秾W案》編寫好了，事情就成功了一半。因此，《學案》的編寫是非常重要、非常關鍵的一環(huán)。
《學案》的編寫，如同于我們傳統(tǒng)教學中的“寫教案”，但它又不完全等同于寫教案。我們學校的做法是：先由一個老師主備，再由同備課組一個老師初審，最后由同備課組的老師集體討論定稿。這樣做的優(yōu)點是：即發(fā)揮了個人的主觀能動性，又發(fā)揮了集體的智慧和力量。俗話說：三個臭皮匠，當個諸葛亮。
在實踐中，由于各人對教材理解方面的偏異以及對"教•學•練"三合一教學模式理解的偏頗，在《學案》的編寫中存在以下一些問題：
1.1 目的不明
有的教師由于經驗不足，或由于對教材的理解不透，理解不到位，在《學案》的編寫中目的不明。
例如，在《教材》（人教版•下同）中《多邊形的內角和》的編寫時，有的老師對把多邊形劃分為三角形強調過多，導致這節(jié)課主次不分，目的不明。學生弄不清這節(jié)課到底是掌握劃多邊形為三角形還是掌握多邊形的內角和。
因此，《學案》的編寫一定要有清晰的目的，明確的主題。
1.2 照本宣科
有的教師在《學案》的編寫中，對教材缺乏自己獨立的理解，教材上有什么，編什么，有多少，編多少，照本宣科，毫無新意。
例如，在《不等式的性質》中，關于“不等式的解法”，如果僅編寫 例1：利用不等式的性質解不等式：
①x-7>26 ②3x
③23x>50 ④-4x>3
顯然是很不夠的。我們應該根據(jù)《教材》內容以及該內容對該能力點的要求，再補充一節(jié)課，專門講授“不等式的解法”，以便學生能夠較熟練地掌握不等式的解法。
1.3 教材搬家
在《學案》的編寫中，我們發(fā)現(xiàn)，有的教師對于知識的發(fā)生、發(fā)展，或者公式、定理的來龍去脈，把教材中的內容、過程悉數(shù)搬到《學案》中，實行“教材搬家”。這樣導致《學案》篇幅冗長，版面臃腫。
我認為，“教材搬家”沒有必要。《學案》編寫要盡量地做到“精練、簡練”。
1.4 面面俱到，顧此失彼
我們還注意到，在《學案》的編寫中，有的教師對學生這里不放心，那里也不放心。在一個《學案》中，東拉西扯，內容一大堆，希望做到面面俱到。
例如，在《線段的垂直平分線》中，插入《角的平分線》，在《用坐標表示軸對稱》中，又編入點的坐標表示、點所在象限、各象限點的坐標的符號等等，導致《學案》卷面冗雜，主次不分，主題不明。
與面面俱到相反的就是顧此失彼。
在《學案》的編寫中，我們有的教師出現(xiàn)顧此失彼的現(xiàn)象。例如，在講《平方根》的時候，對“平方根”講得很多，很到位。但是，對于“平方根”與“算術平方根”的聯(lián)系與區(qū)別，卻注意不夠。教學中，要注意“平方根”與“算術平方根”的對比，在對比中深化學生對“平方根”和“算術平方根”的理解，使他們掌握“平方根”與“算術平方根”的聯(lián)系與區(qū)別。《教材》 例5：求下列各式的值：
①144 ②-0.81 ③±121196
就是這樣一個很好的例子?？上?，我們在編寫《平方根》的時候，容易丟失這樣的好例子。
因此，在《學案》的編寫中，我們既不要面面俱到，也不要顧此失彼。要做到主次鮮明，主題分明。
1.5 拔苗助長
在《學案》的編寫中，我們有的教師過高地估計了學生的能力，內容往往編得過深、過高、過廣。
例如，在《函數(shù)的圖象》中，對于《教材》 中，判斷“一條曲線”是不是“某個函數(shù)的圖象”，《教材》是通過如下的兩個圖象來展開的。這樣的問題，
對于初學函數(shù)的初二學生而言，實在是“太難”。然而，我們有的教師卻樂此不疲，講得太多！
又如，函數(shù)中“自變量的取值范圍”這個知識點，《教材》是通過 來體現(xiàn)的。這里的“難度”應該控制在“一步到位”。但是，我們有的教師編寫了這樣的例子：求下列函數(shù)中自變量的取值范圍：
①y=x+1x-1 ②y=x-1+1-x
這樣的例子對于初學函數(shù)的初二學生來說，拔得太高、太難。
我們認為，在《學案》的編寫中，對某些“知識點”，作適當?shù)摹巴诰颉?，對提高學生的能力，發(fā)展學生的智力是有益處的。但是，過深、過高、過廣，拔苗助長，則是有害的。我們不排除個別“天才”學生能夠接受，但對大多數(shù)學生而言，是一個很大的打擊和傷害。
對于“知識點”的挖掘，其深度――我的觀點是“使學生跳起來能夠摘到蘋果”即可，過高、過難的要求，甚至“爬梯子還摘不到蘋果”，只會打擊他們的信心，傷害他們的積極性。
因此，在《學案》的編寫中，切忌拔苗助長。要切合學生的實際，符合他們的年齡特征，符合他們的認知規(guī)律。
以上所談，就是我們在實踐中，編寫《學案》中常見的所存在的問題。
2.《學案》編寫中要做好的幾項工作
下面再來談談在《學案》的編寫中，要解決上述問題，需要認真做好以下幾項工作。
2.1 研究學生，研究教材
我們通常說，在教學過程中，要“因材施教”。這個“材”，我的理解：一是學生；二是教材。
我們施教的對象是學生，學生是教學過程中的主體。你的學生是什么樣的，他的基礎知識怎么樣，他們的學習能力如何，對這些知識他們會有什么樣的反應，可能會犯什么樣的錯誤，教師都要有足夠的估計；甚至這些學生背后的家庭背景，作為老師，你都要有一定的了解。這樣，你的教學就會有的放矢，針對性強。
對于教材，我們通常說，“以《綱》為綱，以《本》為本”。這個《綱》就是《教學大綱》，這個《本》就是《教材》。
《教材》對于我們來說，它只是一個“綱領性文件”。它不可能把什么知識都敘說得清清楚楚，明明白白。《教材》的編者，他會通過一些具體的公式、定理、例題、習題等，傳達他的意愿，表達他的要求。如果什么都表達得清清楚楚，明明白白，那么教材就會篇幅冗長，不精練。
例如，在《實數(shù)》這一章中，關于“a2=a”和“(a)2=a(a≥0)”這兩個公式，教材就是通過p76T11來體現(xiàn)的。
題：（1）求22，(-3)2，52，(-6)2，72，02，的值，對于任意數(shù)a，a2等于多少？
（2）求(4)2,(9)2,(25)2,(36)2,(49)2,(0)2,的值，對于任意非負數(shù)a，(a)2 等于多少？
象這樣，教材正文里沒有，在教材的練習題或習題中出現(xiàn)“知識點”的例子還有很多。因此，我們教師在編寫《學案》的時候，要很好地，認真仔細地研究教材，挖掘教材中“隱含”的知識點和能力點。
2.2 中心明確，重點突出
我們在《學案》的編寫中，要注意中心明確，重點突出。所編寫的內容要緊緊圍繞主題展開，不要動東拉西扯，象抓“中藥”一樣。
例如，編寫《完全平方公式》，那么你編寫的例題、練習題以及習題都要緊扣公式： （a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2來開展，不要脫離主題，東一榔頭西一錘，搞得主次不分，目標不明。
2.3 設計梯度，突破難點
任何知識的學習，對學生來說都會有一些難點。如何突破難點，使學生學起來得心應手，是教師課堂教學藝術，教學手段的技藝體現(xiàn)。
例如，在教學《完全平方公式》，（a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2
時，如果按教材P154例3的安排，一開始就要學生計算：① (4m+n)2，②(y-12)2
學生會感到無所適從。因此，講完《完全平方公式》以后，我安排了如下的四個用完全平方公式計算：
①(x+1)2 ② (x+3)2 ③(a-2)2 ④(a-1)2
通過以上計算，學生就會逐步明白《完全平方公式》到底是怎么一回事，并能夠初步記住公式。然后我再要求學生計算 例3，還按"梯級"補充一些計算題（見附件《完全平方公式》學案），這樣學生學起來就不難，公式應用起來也能得心應手。
2.4 精編習題，加強鞏固
任何知識的掌握，學生都有一個“消化、鞏固”的過程。而“消化、鞏固”成效的取得，有賴于教師精編習題。
對于習題的編寫，一要緊扣主題，不要東拉西扯，更不要與主題內容脫節(jié)；二要“精”。我們的學生每天要學六、七門功課，每科都有鞏固練習，如果我們的習題過多過濫，勢必就會影響其它科的學習，更為嚴重的是可能使學生對數(shù)學的學習產生抵觸情緒，反而有礙于數(shù)學成績的提高。
例如，在《完全平方公式》的學案中，我充分估計了學生可能出錯的地方，并根據(jù)該公式對學生能力的要求，精編了一些鞏固練習題（見附件）
總之，《學案》的編寫和使用，在我們學校，還是一件新生事物，對我來說，更是一件有待學習，有待改進的新生事物。
以上所談，僅是我個人近兩年使用“教•學•練”三合一教學模式的一點心得和體會，希望通過它得到各位同仁的幫助和指導，起到拋磚引玉的作用。
附：《完全平方公式》學案一例
課題： 完全平方公式
主備：××× 初審：××× 終審：初二數(shù)學備課組
目的要求：使學生掌握完全平方公式，能夠較熟練的運用完全平方公式解決有關的計算問題.
重點：完全平方公式及其應用
難點：公式的變形與應用
教學過程：一、預習導學(閱讀P153～P154，完成下列問題)
1、 運用整式的乘法計算：
①（a+b)2=(a+b)•(a+b) ② (a-b)2=(a-b).(a-b)
= =
= =
2、總結上述兩個公式：
(a+b)2=
(a-b)2=
即 ① 兩數(shù)和的平方，等于它們的 ，加上它們的；
② 兩數(shù)差的平方，等于它們的，減去它們的；
二、教學互動
例1、運用完全平方公式計算：
①(x+1)2=( )+2••+( )2
=
②（X+3）2=（ ）2+2••+（ ）2
=
③（a-2)2=( )2－2••+( )2
=
④(a-1)2=( )2－2••+( )2
=
例2、運用完全平方公式計算：
① (4m+n)2 ② (y-12)2
③(-2a+3b)2 ④(-a-2b)2
例3、運用完全平方公式計算：
①1022 ②992
例4、（1）對任意實數(shù)a，b下列等式成立嗎？
①(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2 ②(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）若(x+y)2=7，(x-y)2=5求值：x2+y2和xy .
三、 達標檢測
1、對于任意實數(shù)a，b,下列等式恒成立的是（ ）
（A）(a+b)2=a2+b2 （B）(a-b)2=a2-b2
（C）(-a-b)2=a+2ab+b2（D）(-a+2b)2=-a2+4ab+4b2
2、下列計算正確的是（ ）
(A)(x-12=x2-14 （B）(a-b)2=a2-b2
（C） (x+12)2=a2+a+12 （D） (x-1)2=1-2x+x2
3、運用完全平方公式計算：
①(x+6)2 ②(y-5)2
③(-2x+5)2 ④(2x-3y)2
四、 課后鞏固
1、 運用完全平方公式計算：
①(a+2)2 ② (a-3)2 ③(2a+b)2
④ (-2m-1)2 ⑤(32a-23b)2 ⑥(-a+2b)2
⑦972 ⑧1012
2、若(a+b)2=3，(a-b)2=5,求值：①a2+b2 ② a
一、素質教育目標
（一）知識教學點：認識形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c為常數(shù)）類型的方程，并會用直接開平方法解．
（二）能力訓練點：培養(yǎng)學生準確而簡潔的計算能力及抽象概括能力．
（三）德育滲透點：通過兩邊同時開平方，將2次方程轉化為一次方程，向學生滲透數(shù)學新知識的學習往往由未知（新知識）向已知（舊知識）轉化，這是研究數(shù)學問題常用的方法，化未知為已知．
二、教學重點、難點
1．教學重點：用直接開平方法解一元二次方程．
2．教學難點：（1）認清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c為常數(shù)）這樣結構特點的一元二次方程適用于直接開平方法．（2）一元二次方程可能有兩個不相等的實數(shù)解，也可能有兩個相等的實數(shù)解，也可能無實數(shù)解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常數(shù)），當c＞0時，有兩個不等的實數(shù)解，c＝0時，有兩個相等的實數(shù)解，c＜0時無實數(shù)解．
三、教學步驟
（一）明確目標
在初二代數(shù)“數(shù)的開方”這一章中，學習了平方根和開平方運算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一個數(shù)平方根的運算叫做開平方運算”．正確理解這個概念，在本節(jié)課我們就可得到最簡單的一元二次方程x2＝a的解法，在此基礎上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常數(shù)，a≠0，c≥0）結構特點的一元二次方程，從而達到本節(jié)課的目的．
（二）整體感知
通過本節(jié)課的學習，使學生充分認識到：數(shù)學的新知識是建立在舊知識的基礎上，化未知為已知是研究數(shù)學問題的一種方法，本節(jié)課引進的直接開平方法是建立在初二代數(shù)中平方根及開平方運算的基礎上，可以說平方根的概念對初二代數(shù)和初三代數(shù)起到了承上啟下的作用．而直接開平方法又為一元二次方程的其他解法打下堅實的基礎，此法可以說起到一個拋磚引玉的作用．學生通過本節(jié)課的學習應深刻領會數(shù)學以舊引新的思維方法，在已學知識的基礎上開發(fā)學生的創(chuàng)新意識．
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1．復習提問
（1）什么叫整式方程？舉兩例，一元一次方程及一元二次方程的異同？
（2）平方根的概念及開平方運算？
2．引例：解方程x2-4=0．
解：移項，得x2＝4．
兩邊開平方，得x＝±2．
x1＝2，x2＝-2．
分析x2＝4，一個數(shù)x的平方等于4，這個數(shù)x叫做4的平方根（或二次方根）；據(jù)平方根的性質，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；所以這個數(shù)x為±2．求一個數(shù)平方根的運算叫做開平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．使學生體會到直接開平方法的實質是求一個數(shù)平方根的運算．
練習：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．學生在練習、板演過程中充分體會直接開平方法的步驟以及蘊含著關于平方根的一些概念．
3．例1解方程9x2-16＝0．
解：移項，得：9x2=16，
此例題是在引例的基礎上將二次項系數(shù)由1變?yōu)?，由此增加將二次項系數(shù)變?yōu)?的步驟．此題解法教師板書，學生回答，再次強化解題
負根．
練習：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．
例2解方程（x＋3）2＝2．
分析：把x＋3看成一個整體y．
例2把引例中的x變?yōu)閤+3，反之就應把例2中的x+3看成一個整體，
兩邊同時開平方，將二次方程轉化為兩個一次方程，便求得方程的兩個解．可以說：利用平方根的概念，通過兩邊開平方，達到降次的目的，化未知為已知，體現(xiàn)一種轉化的思想．
練習：教材P．8中2，此組練習更重要的是體會方程的左邊不是未知數(shù)的平方，而是含有未知數(shù)的代數(shù)式的平方，而右邊是個非負實數(shù)，采用直接開平方法便可以求解．
例3解方程（2-x）2-81＝0．
解法（一）
移項，得：（2-x）2＝81．
兩邊開平方，得：2-x=±9
2-x＝9或2-x＝-9．
x1=-7，x2＝11．
解法（二）
（2-x）2＝（x-2）2，
原方程可變形，得（x-2）2=81．
兩邊開平方，得x-2＝±9．
x-2＝9或x-2＝-9．
x1＝11，x2＝-7．
比較兩種方法，方法（二）較簡單，不易出錯．在解方程的過程中，要注意方程的結構特點，進行靈活適當?shù)淖儞Q，擇其簡捷的方法，達到又快又準地求出方程解的目的．
練習：解下列方程：
（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；
在實數(shù)范圍內解一元二次方程，要求出滿足這個方程的所有實數(shù)根，提醒學生注意不要丟掉負根，例x2＋36＝0，由于適合這個方程的實數(shù)x不存在，因為負數(shù)沒有平方根，所以原方程無實數(shù)根．-x2＝0，適合這個方程的根有兩個，都是零．由此滲透方程根的存在情況．以上在教師恰當語言的引導下，由學生得出結論，培養(yǎng)學生善于思考的習慣和探索問題的精神．
那么具有怎樣結構特點的一元二次方程用直接開平方法來解比較簡單呢？啟發(fā)引導學生，抽象概括出方程的結構：（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，c≥0），即方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是非負實數(shù)．
（四）總結、擴展
引導學生進行本節(jié)課的小節(jié)．
1．如果一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是一個非負常數(shù)，便可用直接開平方法來解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，c≥0）．
2．平方根的概念為直接開平方法的引入奠定了基礎，同時直接開平方法也為其它一元二次方程的解法起了一個拋磚引玉的作用．兩邊開平方實際上是實現(xiàn)方程由2次轉化為一次，實現(xiàn)了由未知向已知的轉化．由高次向低次的轉化，是高次方程解法的一種根本途徑．
3．一元二次方程可能有兩個不同的實數(shù)解，也可能有兩個相同的實數(shù)解，也可能無實數(shù)解．
四、布置作業(yè)
1．教材P．15中A1、2、
2、P10練習1、2；
P．16中B1、（學有余力的學生做）．
五、板書設計
12．1用公式解一元二次方程（二）
引例：解方程x2-4＝0例1解方程9x2-16=0
解：…………
……例2解方程（x＋3）2＝2
此種解一元二次方程的方法稱為直接開平方法
形如（ax＋b）2＝c（a，b，
c為常數(shù)，a≠0，c≥0）可用直接開平方法
六、部分習題參考答案
教材P．15A1
以上（5）改為（3）（6）改為（4），去掉（7）（8）
（一）知識教學點：認識形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c為常數(shù)）類型的方程，并會用直接開平方法解．
（二）能力訓練點：培養(yǎng)學生準確而簡潔的計算能力及抽象概括能力．
（三）德育滲透點：通過兩邊同時開平方，將2次方程轉化為一次方程，向學生滲透數(shù)學新知識的學習往往由未知（新知識）向已知（舊知識）轉化，這是研究數(shù)學問題常用的方法，化未知為已知．
二、教學重點、難點
1．教學重點：用直接開平方法解一元二次方程．
2．教學難點：（1）認清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c為常數(shù)）這樣結構特點的一元二次方程適用于直接開平方法．（2）一元二次方程可能有兩個不相等的實數(shù)解，也可能有兩個相等的實數(shù)解，也可能無實數(shù)解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常數(shù)），當c＞0時，有兩個不等的實數(shù)解，c＝0時，有兩個相等的實數(shù)解，c＜0時無實數(shù)解．
三、教學步驟
（一）明確目標
在初二代數(shù)“數(shù)的開方”這一章中，學習了平方根和開平方運算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一個數(shù)平方根的運算叫做開平方運算”．正確理解這個概念，在本節(jié)課我們就可得到最簡單的一元二次方程x2＝a的解法，在此基礎上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常數(shù)，a≠0，c≥0）結構特點的一元二次方程，從而達到本節(jié)課的目的．
（二）整體感知
通過本節(jié)課的學習，使學生充分認識到：數(shù)學的新知識是建立在舊知識的基礎上，化未知為已知是研究數(shù)學問題的一種方法，本節(jié)課引進的直接開平方法是建立在初二代數(shù)中平方根及開平方運算的基礎上，可以說平方根的概念對初二代數(shù)和初三代數(shù)起到了承上啟下的作用．而直接開平方法又為一元二次方程的其他解法打下堅實的基礎，此法可以說起到一個拋磚引玉的作用．學生通過本節(jié)課的學習應深刻領會數(shù)學以舊引新的思維方法，在已學知識的基礎上開發(fā)學生的創(chuàng)新意識．
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1．復習提問
（1）什么叫整式方程？舉兩例，一元一次方程及一元二次方程的異同？
（2）平方根的概念及開平方運算？
2．引例：解方程x2-4=0．
解：移項，得x2＝4．
兩邊開平方，得x＝±2．
x1＝2，x2＝-2．
分析x2＝4，一個數(shù)x的平方等于4，這個數(shù)x叫做4的平方根（或二次方根）；據(jù)平方根的性質，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；所以這個數(shù)x為±2．求一個數(shù)平方根的運算叫做開平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．使學生體會到直接開平方法的實質是求一個數(shù)平方根的運算．
練習：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．學生在練習、板演過程中充分體會直接開平方法的步驟以及蘊含著關于平方根的一些概念．
3．例1解方程9x2-16＝0．
解：移項，得：9x2=16，
此例題是在引例的基礎上將二次項系數(shù)由1變?yōu)?，由此增加將二次項系數(shù)變?yōu)?的步驟．此題解法教師板書，學生回答，再次強化解題
負根．
練習：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．
例2解方程（x＋3）2＝2．
分析：把x＋3看成一個整體y．
例2把引例中的x變?yōu)閤+3，反之就應把例2中的x+3看成一個整體，
兩邊同時開平方，將二次方程轉化為兩個一次方程，便求得方程的兩個解．可以說：利用平方根的概念，通過兩邊開平方，達到降次的目的，化未知為已知，體現(xiàn)一種轉化的思想．
練習：教材P．8中2，此組練習更重要的是體會方程的左邊不是未知數(shù)的平方，而是含有未知數(shù)的代數(shù)式的平方，而右邊是個非負實數(shù)，采用直接開平方法便可以求解．
例3解方程（2-x）2-81＝0．
解法（一）
移項，得：（2-x）2＝81．
兩邊開平方，得：2-x=±9
2-x＝9或2-x＝-9．
x1=-7，x2＝11．
解法（二）
（2-x）2＝（x-2）2，
原方程可變形，得（x-2）2=81．
兩邊開平方，得x-2＝±9．
x-2＝9或x-2＝-9．
x1＝11，x2＝-7．
比較兩種方法，方法（二）較簡單，不易出錯．在解方程的過程中，要注意方程的結構特點，進行靈活適當?shù)淖儞Q，擇其簡捷的方法，達到又快又準地求出方程解的目的．
練習：解下列方程：
（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；
在實數(shù)范圍內解一元二次方程，要求出滿足這個方程的所有實數(shù)根，提醒學生注意不要丟掉負根，例x2＋36＝0，由于適合這個方程的實數(shù)x不存在，因為負數(shù)沒有平方根，所以原方程無實數(shù)根．-x2＝0，適合這個方程的根有兩個，都是零．由此滲透方程根的存在情況．以上在教師恰當語言的引導下，由學生得出結論，培養(yǎng)學生善于思考的習慣和探索問題的精神．
那么具有怎樣結構特點的一元二次方程用直接開平方法來解比較簡單呢？啟發(fā)引導學生，抽象概括出方程的結構：（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，c≥0），即方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是非負實數(shù)．
（四）總結、擴展
引導學生進行本節(jié)課的小節(jié)．
1．如果一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是一個非負常數(shù)，便可用直接開平方法來解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，c≥0）．
2．平方根的概念為直接開平方法的引入奠定了基礎，同時直接開平方法也為其它一元二次方程的解法起了一個拋磚引玉的作用．兩邊開平方實際上是實現(xiàn)方程由2次轉化為一次，實現(xiàn)了由未知向已知的轉化．由高次向低次的轉化，是高次方程解法的一種根本途徑．
3．一元二次方程可能有兩個不同的實數(shù)解，也可能有兩個相同的實數(shù)解，也可能無實數(shù)解．
四、布置作業(yè)
1．教材P．15中A1、2、
2、P10練習1、2；
P．16中B1、（學有余力的學生做）．
五、板書設計
12．1用公式解一元二次方程（二）
引例：解方程x2-4＝0例1解方程9x2-16=0
解：…………
……例2解方程（x＋3）2＝2
此種解一元二次方程的方法稱為直接開平方法
形如（ax＋b）2＝c（a，b，
c為常數(shù)，a≠0，c≥0）可用直接開平方法
六、部分習題參考答案
教材P．15A1
以上（5）改為（3）（6）改為（4），去掉（7）（8）
一、設計數(shù)學教學方案首先把內容定位
新課程標準下，教師應該根據(jù)教學內容設計教學方案，并且有計劃地做好教材分析以及學期初中數(shù)學學習目標分析，這樣有計劃的教學才可以快速提高教學質量。比如，在初中數(shù)學教學中，學習了解無理數(shù)、實數(shù)、平方根的概念，學會看圖形會解幾何圖形，學習在根號下表示出數(shù)的算術平方根，而且會運算平方根和立方根，實數(shù)簡單的四則運算化簡等知識。
二、初中數(shù)學教學的設計思路
初中數(shù)學教師要精心地設計，首先要注重知識的具體落實，教師在備課的時候要細致入微地把每一個知識點合理地安排好。比如，在學習以上提出的知識點的時候，首先引入無理數(shù)的概念，舉例子讓學生明白什么才是無理數(shù)的概念，分析無理數(shù)的表示方法、實數(shù)以及平方根的具體概念，把知識點貫穿的連接起來。讓學生了解學習的對象之后，在學習進行的過程中，要通過拼圖或者多媒體教學工具的結合下引入無理數(shù)，引出簡單的圖形，讓學生有意識地學習，通過具體問題的解決說明表示圖形的性質，進而建立學生對圖形的立體感。通過類比，以分類探索的方式提高學生學習數(shù)學的能力。
三、設計具體的學習過程
首先通過看圖和運用計算機探索知識，教師通過具體的問題，引入類似的知識，做成一個知識鏈，通過多媒體技術拼圖，引入無理數(shù)的概念，引起學生的學習興趣，利用計算機運算無理數(shù)，可以得出無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，并從中體會規(guī)律。教師要創(chuàng)設情景體驗，根據(jù)現(xiàn)實生活中和生產實際，通過估算比較無理數(shù)之間的大小，通過生活中的具體問題來考查學生對圖形的推理能力。
四、設計數(shù)學教學合理安排課堂時間
